Sind Minkowski- und Schwarzschild-Raumzeiten diffeomorph?

Das sind sie nicht. Das liegt daran, dass Kruskal-Schwartzschild diffeomorph zu ist$S^2 \times R^2$, während Minkowski ist$R^4$. Dies entspricht in etwa dem Unterschied zwischen einem 2D-Zylinder$S^1\times R$Und$R^2$. Der formale Grund ist der, der von G. Golfetti in einem obigen Kommentar hervorgehoben wurde: Die zweiten Homotopiegruppen sind unterschiedlich, wie es durch das Vorhandensein des Faktors erwartet wird$S^2$. Im M.-Raum können Sie Zwei-Sphären kontinuierlich zu Punkten schrumpfen, im KS-Raum nicht: Wenn Sie auf die Bifurkationsfläche (den 2D-Ereignishorizont) stoßen, können Sie nicht weiter gehen und gehen vom rechten Keil zum linken Keil. Die standardmäßigen globalen Kruskal-Koordinaten bilden die KS-Mannigfaltigkeit ab$S^2\times R^2$. Es gibt keine Möglichkeit, die radiale Koordinate verschwinden zu lassen. Es würde auf der Singularität verschwinden, aber es gehört nicht zur Mannigfaltigkeit. In der Mitte der Mannigfaltigkeit nimmt es den Schwarzshild-Radiuswert an, der streng positiv ist. Es gibt kein Zentrum dieser Sphären. Ähnliche Koordinaten können in der Minkowski-Raumzeit definiert werden, aber sie sind nicht global, da sie die Menge nicht abdecken$r=0$die Teil der Mannigfaltigkeit ist.