Klarstellung, welche Metrik als flache Fläche gilt

1) OP fragt nach der Verwendung des Wortes Flat metric . Es bedeutet eine pseudo-riemannsche Metrik (mit willkürlicher Signatur), deren entsprechender Levi-Civita- Riemann-Krümmungstensor verschwindet.

2) Das Wort euklidischer Raum kann jedoch unter Mathematikern und Physikern möglicherweise Verwirrung stiften. Für einen Mathematiker ist ein euklidischer Raum immer ein affiner Raum , während ein Physiker ihn oft nur als ein anderes Wort für Riemannsche Mannigfaltigkeit verwendet , was nicht unbedingt affin ist.

Kurz gesagt, das Wort euklidisch bezieht sich für einen Physiker auf eine positive Signatur (typischerweise im Gegensatz zur Minkowski- Signatur), während ein Mathematiker das Wort euklidisch verwendet , um sich auf eine affine Struktur zu beziehen.

Ein Mathematiker nennt eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit mit Minkowski-Signatur eine Lorentz-Mannigfaltigkeit .

Wenn Sie verschiedene Einheiten für verschiedene Koordinaten verwenden und wenn Sie eine andere Einheit für die Entfernungsmetrik verwenden, können sich die diagonalen Elemente der Metrikmatrix unterscheiden$1$. Zum Beispiel, wenn Sie Entfernungen in Metern messen möchten, aber Zoll für die verwenden$x$Dimension und Zentimeter für die$y$Dimension, dann wäre die 2D-Metrik:

$$\begin{bmatrix} \mathrm{meters^2/inch^2} & 0 \\ 0 & \mathrm{meters^2/centimeter^2} \end{bmatrix}$$

Generell können also die Diagonalwerte abweichen$1$, aber es ist viel sinnvoller, die gleichen Einheiten für zu verwenden$x, y$und Abstand und in diesem Fall werden die diagonalen Elemente alle sein$1$.

Jetzt in der Minkowski 4D-Raumzeit$(t,x,y,z)$unseres Universums wird die Metrik normalerweise so geschrieben:

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Und in diesem Fall die$-1$ist für die Zeitrichtung und es ist signifikant. Das lässt sich nicht ändern in a$+1$und das gibt der Lichtgeschwindigkeit Bedeutung - insbesondere legt Licht in der gesamten 4D-Raumzeit immer eine "richtige" Entfernung von 0 zurück. Beachten Sie, dass ein Gesamtabstand von 0 nur möglich ist, wenn mindestens eines der Diagonalelemente das entgegengesetzte Vorzeichen der anderen Diagonalelemente hat. Tatsächlich ist die$-1$wird oft geschrieben als$-c^2$Dies ist nur ein weiterer Hinweis darauf, dass sich die Maßeinheit für die Zeit von den Einheiten für die räumlichen Koordinaten unterscheidet. Auch hier kann die Verwendung der "gleichen" Einheiten das Diagonalelement ändern$-1$stattdessen.

Wenn wir von „flachem“ Raum sprechen, kann das mehr bedeuten als nur der euklidische Raum. In der Relativitätstheorie ist eine flache Raumzeit Minkowskisch – es muss einen gewissen Unterschied in den Vorzeichen zwischen dem der Zeitkoordinate und dem der Raumkoordinaten geben.

Ob der lokale Tangentenraum euklidisch oder minkowskisch ist, hängt weitgehend vom Kontext ab.