Warum Vierervektoren als Größen definieren, die sich nur wie die Positionsvektortransformationen transformieren?

Letztendlich machen Sie einen völlig legitimen Punkt; Wir hätten den Begriff „Vier-Vektor“ sehr gut so definieren können, dass er sich auf einen Objekttyp bezieht, der sich auf andere Weise transformiert, aber wir treffen diese spezielle Definition, weil es nützlich ist, einen Begriff zu haben, der sich auf Dinge bezieht, die sich wie transformieren Raumzeitpositionen, wenn Sie den Rahmen wechseln. Hier sind zwei Gründe dafür:

Fakt 1. Gegeben zwei beliebige vier Vektoren$A^\mu$Und$B^\nu$, Die Quantität$g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu$ist bei einem Rahmenwechsel unveränderlich.

Beachten Sie, dass dies nicht wahr gewesen wäre, wenn nicht$A^\mu$Und$B^\nu$vier Vektoren waren, weil der Beweis dieser Tatsache darauf beruht, dass die Metrik durch Lorentz-Transformationen erhalten bleibt und nicht durch andere willkürliche Dinge. Hier ist ein weiterer Grund, warum die Definition nützlich ist

Tatsache 2. Viele wirklich nützliche und physikalisch signifikante Größen sind zufällig Vier-Vektoren. Nehmen Sie zum Beispiel$J^\mu$Und$A^\mu$(der Strom und das Vektorpotential) im Elektromagnetismus.

Beachten Sie jedoch, dass es Tonnen anderer Größen gibt, die sich nicht in Vierervektoren umwandeln, wenn Sie das Bild wechseln. In der Tat, jede Darstellung gegeben$\rho$der Lorentz-Gruppe trifft man oft auf Mengen$Q$die sich verwandeln als

Das Ergebnis von all dem ist das Folgende

Ergebnis. Lorentz 4-Vektoren sind nicht speziell. Da jedoch jeder Bezugssystemwechsel mit einer Lorentz-Transformation verbunden sein kann, muss jede Größe, die Sie zwischen Frames transformieren wollen, notwendigerweise in einer Weise transformieren, die auf die eine oder andere Weise von der Lorentz-Transformation zwischen den Frames abhängt. Dies führt uns dazu, nicht nur Vierervektoren zu definieren, sondern eine Menge anderer Objekte, die bestimmte Transformationsgesetze unter Rahmenwechseln haben, und ihnen spezielle Namen zu geben. Dies ist nützlich, da solche Objekte in der Physik überall vorkommen und wir nützliche Eigenschaften von Objekten mit bestimmten Transformationsverhalten beweisen können.

Der Grund, warum Sie diese Frage stellen, liegt darin, dass die Definition eines Vektors oder eines allgemeineren Tensors als "eine Größe, die sich auf eine bestimmte Weise transformiert" konzeptionell nicht sehr aufschlussreich ist, aber häufig verwendet wird, um die Einführung einer leicht formalen Mathematik zu vermeiden. Hier ist ein besserer Weg, um fortzufahren:

Lassen$M$eine Mannigfaltigkeit sein (man denke nur an den Minkowski-Raum als einfaches Beispiel). Wir definieren einen Vektor$v$an einem Punkt$p\in M$eine lineare Abbildung zu sein, die eine Funktion annimmt$f \in C^{\infty}(M)$(alle glatten reellwertigen Funktionen an$M$) zu einer reellen Zahl$c\in \mathbb{R}$, die ebenfalls der Leibniz-Regel gehorcht:

Jetzt für jeden Punkt$p \in M$, bildet diese Menge einen Vektorraum, den sogenannten Tangentialraum$T_p M$. Ein "$n$-Vektor" dann (wo$n$ist die Dimension unserer Mannigfaltigkeit), ist einfach ein glattes Vektorfeld, dh für jeden Punkt$p\in M$, es gibt uns einen Vektor, in dem wir leben$T_pM$. Es stellt sich heraus, dass die Menge der partiellen Ableitungsoperatoren$\{\partial_{\mu}\}$für jedes gültige Koordinatensystem$\{x^{\mu}\}$, bildet eine Basis für unseren Tangentenraum, sodass jeder 4-Vektor geschrieben werden kann als

Daraus sehen wir, dass die neuen Koordinaten in Bezug auf die alten gegeben sind durch

Im Allgemeinen ist also für jeden Vektor (Feld) bei einer Änderung der Koordinaten die Änderung der Komponenten durch die Matrix der partiellen Ableitungen gegeben. Für den Spezialfall der Koordinatenänderung durch Lorentz-Transformationen sind die Matrix der Teiltöne die entsprechenden Matrizen der Lorentz-Boosts (nicht sehr unterschiedlich, da die Lorentz-Transformationen linear sind).

Wenn Sie also diese Definition vornehmen, sehen Sie, dass Ihre$T$darf nur die Matrix der partiellen Ableitungen sein, was in Ihrem speziellen Fall zufällig der Fall ist$L^{\mu'}_{\mu}$, und keine andere willkürliche Transformation.

dayareishq hat die Grundidee erfasst, wie sie typischerweise in der Differentialgeometrie (und der Allgemeinen Relativitätstheorie als Anwendung dieser Disziplin) dargestellt wird. Aber Sie würden zu Recht denken "Vektoren sind partielle Ableitungen? Das macht keinen Sinn!" Denn das tut es nicht. Dennoch ist diese Identifizierung in der Differentialgeometrie allgegenwärtig; Daran muss man sich gewöhnen ... oder eine gute und solide Alternative dazu finden (die es gibt).

Das Transformationsgesetz für Vektoren folgt aus dem Zeichnen von Kurven in der Raumzeit. Gegeben eine Kurve$c(\lambda)$, transformieren dies unter eine beliebige, glatte, differenzierbare Transformation$f(x) = x'$Erträge$c'(\lambda) = (f \circ c)(\lambda)$. Das findest du dann$dc'/d\lambda = \underline f(dc/d\lambda)$, Wo$\underline f$ist der Jakobi. Dies ist eine grundlegende Anwendung der Kettenregel, und das ist der gesamte mathematische Inhalt der Dayareishq-Gleichung$v^{\mu'} = v^\mu \partial x^{\mu'}/\partial x^\mu$. Lorentz-Boosts und -Rotationen gehorchen einfach der einfachen Idee, dass sie als lineare Operatoren ihren eigenen Jacobi-Operatoren entsprechen.

Nur Lorentz-Transformationen entsprechen den geometrischen Transformationen, die mit physikalischen Drehungen und Geschwindigkeitsänderungen verbunden sind, und sie verbinden die Rahmen, in denen Sie die Eigenzeiten und Strecken berechnen, als$\sqrt{\text dt^2-\text d \vec x^2}$. Die an der Berechnung beteiligten metrischen Komponenten$x^2=x_\mu x^\mu=\eta_{\mu\nu} x^\mu x^\nu$sind lediglich Faktoren$\pm 1$Wenn$x$sind die Koordinaten in einem Trägheitsrahmen oder einem beliebigen Rahmen, der aus diesem Rahmen über eine Lorentz-Transformation (die wir wiederum als Trägheitsrahmen bezeichnen) erhalten wird.

Wir verlangen nicht, dass Sie sie im Allgemeinen nur auf eine bestimmte Weise transformieren, Sie können jede gewünschte Transformation durchführen. Wenn Ihre Katze mit einer bestimmten Geschwindigkeit neben Ihnen läuft und Sie sehen möchten, wie die Welt aus ihrer Sicht aussieht, müssen Sie eine Boost-Transformation Ihrer Koordinaten durchführen. Und Lorentz stellte fest, dass die Lorentz-Transformationen dies genauer tun als der Galileische Boost. Das bedeutet nicht, dass Sie keine Galilei-Transformation durchführen können, um die Welt aus einer anderen Perspektive zu beschreiben, in der der fortlaufende Wert der Zeitkoordinate nicht mit der Wahrnehmung Ihrer Katze von der aktuellen Zeit übereinstimmt (der Fehler wird nicht groß sein).

Wenn Sie wissen, wie sich die Position ändert, und Sie eine Transformation einer damit verbundenen Gleichung durchführen, dann ist das Transformationsgesetz anderer geometrischer Größen wie Geschwindigkeiten, Co-Vektoren, die Geschwindigkeiten fressen, oder jede Form im Kotangensraum (wie der elektromagnetische Feldstärketensor ) werden durch das Konsistenzgebot und den Anspruch, dass ein Relativitätsprinzip gelten soll, induziert.

Wie unten bemerkt, ist eine allgemeine Formel für Vektortransformationen unter Koordinatentransformationen$A^{\mu'} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}A^{\mu}.$

Und im Spezialfall der Lorentz-Transformationen funktioniert es einwandfrei.

Aber physikalische Gesetze können nicht nur in Form von Vektoren ausgedrückt werden, man könnte auch Tensoren, Spinoren usw. verwenden.

Der Punkt ist, dass Sie 2 Größen gleichsetzen müssen, die sich unter Koordinatentransformationen auf die gleiche Weise transformieren.

Ich lese Schutz zum Thema Vektoren, und ich glaube, dass er das sagt; gegeben eine Mannigfaltigkeit mit zwei Sätzen von Koordinatensystemen, die durch eine lineare Transformation in Beziehung stehen; ein Zahlenmengenpaar (mit derselben Dimension wie die Mannigfaltigkeit) ist ein Vektor, wenn eine Zahlenmenge durch die lineare Transformation mit der anderen Zahlenmenge in Beziehung steht.