Kovariante Form der Maxwell-Gleichungen in gekrümmter Raumzeit

Die reale Welt kümmert sich nicht um unsere Wahl der Koordinaten zur Beschreibung der Natur. Maxwell-Gleichungen in vektorieller Form werden in Bezug auf einen Trägheitsreferenzrahmen geschrieben als:

$$\begin{align} \vec\nabla\cdot\vec{E} &= 4\pi\rho \label{Diff I}\\ \vec\nabla\times\vec{B} &= \dfrac{4\pi}{c} \vec{j}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \label{Diff IV}\\ \vec\nabla\times\vec{E} &= -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t} \label{Diff III}\\ \vec\nabla\cdot\vec{B} &= 0 \label{Diff II} \end{align}$$

Und die Potenziale:

$$\begin{align} \vec{E} &= -\frac1c \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec\nabla\phi\\ \vec{B} &= \vec\nabla\times\vec A \end{align}$$

Diese Gleichungen sind in jedem Trägheitskoordinatenbezugssystem gültig. Wie wäre es mit einem nicht inertialen Rahmen? Um diese Frage zu beantworten und die Maxwell-Gleichungen in JEDEM Bezugsrahmen zu formulieren, halte ich es für nützlich, die Tensorrechnung zu verwenden. So:

In der Speziellen Relativitätstheorie schreiben wir:

$$\begin{align} \partial_{\mu}F^{\mu\nu} &= \frac{4\pi}{c}j^{\nu} \tag{1}\\ \partial_{[\mu}F_{\alpha\beta]} &= 0\;. \tag{2} \end{align}$$

Aber hier meine Fragen:

1. Diese Gleichungen werden in Bezug auf die Minkowski-Metrik geschrieben, also mit kartesischen Koordinaten für die räumlichen Koordinaten. Diese sind kovariant in Bezug auf Lorentz-Transformationen, aber sie sind in KEINEM Trägheitskoordinatensystem gültig. Wenn ich zylindrische oder sphärische Koordinaten wähle, kann ich sie nicht verwenden. Wie transformieren sich diese Gleichungen in ein anderes Koordinatensystem (träge oder nicht)?

2. Warum schreiben wir vor GR, also in der flachen Raumzeit, Maxwell-Gleichungen nicht in einer koordinatenfreien Notation? Warum verwenden wir zum Beispiel nicht die kovariante Ableitung und eine allgemeine Metrik, um die Gleichungen in ihre allgemeinste Form zu bringen, wie wir es in der allgemeinen Relativitätstheorie tun?

Weil wir in GR ihre allgemeine Form brauchen, um die Raumzeitkrümmung zu berücksichtigen, aber hier würden wir sie auch brauchen, um jedes träge oder nicht träge Koordinatensystem in der flachen Raumzeit zu berücksichtigen, und nicht nur in kartesischen Koordinaten.