Warum sehen wir die kovariante Ableitung nicht in der klassischen Mechanik?

Ich frage mich, warum ich die kovariante Ableitung zum ersten Mal in der Allgemeinen Relativitätstheorie gesehen habe .

Ausgehend von dem Punkt, dass die kovariante Ableitung das Konzept der Ableitung im gekrümmten Raum verallgemeinert (auch wenn ich denke, dass es besser ist, es als Erweiterung der Ableitung zu betrachten, so dass sie unter einer Änderung der Koordinaten kovariant ist). Dazu führen wir die Christoffel-Symbole ein Γ J k ich .

In gekrümmter Raumzeit haben wir global nicht verschwindende Christoffel-Symbole Γ J k ich ≠ 0 , aber im Allgemeinen Γ J k ich ≠ 0 bedeutet nicht, dass wir uns in einer gekrümmten Raumzeit befinden. Wenn ich zum Beispiel die Minkowski-Raumzeit mit kartesischen Koordinaten betrachte, dann sind sie dank der Lorentz-Transformation, wenn die Gammas in einem Referenzrahmen Null sind, in jeder Referenz des Rahmens Null, aber ich hätte es tun können Γ J k ich ≠ 0 auch in flacher Raumzeit mit Polarkoordinaten, da sich die Gammas in diesem Fall aufgrund des nicht tensorischen Teils des Transformationsgesetzes nicht wie ein Tensor transformieren für Γ J k ich unter einem Basiswechsel.

Wenn das, was ich zuvor gesagt habe, wahr ist (ein großes Wenn), dann würde ich dies in der klassischen Mechanik so interpretieren, dass in kartesischen Koordinaten die Basisvektoren { e ^ X , e ^ j }, fest zu einem Punkt einer Kurve, sind konstant, wenn der Punkt entlang der Kurve bewegt wird.

Obwohl ich glaube, ich kann nicht dasselbe für { sagen e ^ R , e ^ θ }, da beim Bewegen eines Punktes entlang der Kurve in diesem Fall die Tangentenvektoren zu den Koordinatenlinien nicht konstant sind (sie drehen sich, während sich der Punkt bewegt). Deshalb denke ich, dass ich die Christoffel-Symbole auch in der klassischen Mechanik sehen sollte, um die Eigenschaft der Vektoren widerzuspiegeln { e ^ R , e ^ θ }, die entlang der Kurve variieren.

Antworten (3)

Sie sehen die kovariante Ableitung nicht so oft, weil der flache Raum Isometrien hat, die kartesische Koordinaten besser machen, und in diesen Koordinaten gibt es keine Christoffel-Symbole, also verwenden wir sie so oft wie möglich. Aber schauen Sie sich die Formel für die Divergenz einer Funktion an F = F R ^ R ^ + F θ ^ θ ^ in Polarkoordinaten:

∇ ⋅ F = 1 R ∂ ( R F R ^ ) ∂ R + 1 R ∂ F θ ^ ∂ θ = ∂ F R ^ ∂ R + 1 R F R ^ + 1 R ∂ F θ ^ ∂ θ .

Das 1 / R mittelfristig ohne Ableitungen kommt von den Christoffel-Symbolen! Die kovariante Ableitung ist also definitiv vorhanden, aber anstatt die Christoffel-Symbole zu verwenden, berechnen wir sie normalerweise mit der Kettenregel und der Tatsache, dass die kartesischen Basisvektoren keine Ableitung haben. Die Ableitungen des Basisvektors sind schließlich die Christoffel-Symbole, also ist die Methode nicht so unterschiedlich.

Ein letzter Kommentar: die orthonormalen Basisvektoren { R ^ , θ ^ } in Polarkoordinaten sind nicht die Basisvektoren { ∂ / ∂ R , ∂ / ∂ θ } kennen wir aus der Differentialgeometrie, weil letztere nicht orthonormal sind. Der Zusammenhang ist einfach:

R ^ = ∂ ∂ R θ ^ = 1 R ∂ ∂ θ ,

Denken Sie also daran, wenn Sie die Formeln anwenden. In der Differentialgeometrie neigen wir dazu, die Komponenten von Vektoren in Bezug auf die Ableitungsbasis zu schreiben, aber die Formeln, die wir aus einfacheren Kalkülen kennen (wie meine Divergenzformel), werden in Bezug auf die orthonormale Basis geschrieben.

also ich habe die antwort seit dem ersten physikkurs neu! das gibt mir zu denken ahahha. In der Praxis kann ich sagen, dass die Gammas in der klassischen Mechanik nur die Terme sind, die durch die Variation der Basisvektoren gegeben sind. Vielen Dank für die Antwort
@Frappa Ja, aber beachten Sie, dass die Verbindung im allgemeinen relativistischen Fall ein "reales", nicht triviales, physikalisches Feld ist, das nicht global wegtransformiert werden kann. Dasselbe gilt für (andere) Eichtheorien.
@DoctorNuu Ja, die Tatsache, dass die Gammas nicht global transformiert werden können, ist klar (ich kann wirklich nicht sagen, welche Auswirkungen die Eichtheorien haben). Etwas vom Thema abgekommen, wenn ich mich nicht irre. Da die Gammas nur lokal verschwinden, bedeutet dies, dass wir keinen globalen intertialen Beobachter in GR haben können, und so ergibt sich die Lorentz-Transformation nur als Spezialfall für die Änderung des Bezugsrahmens, während ich im Allgemeinen die verschiedenen Diffeomorphismen berücksichtigen sollte. Ist das richtig? Entschuldigung, wenn ich Sie störe
Verallgemeinert sich Ihre Analyse auf n-Dimensionen in Theta oder gibt es mehrere Kreuzbegriffe?
@cumfy nicht ganz sicher, was du meinst. Ich habe keine allgemeine Analyse durchgeführt, aber im Allgemeinen kann es mehr oder weniger Terme geben, abhängig von den Dimensionen, den Koordinaten und dem, was genau Sie berechnen.
Entschuldigung, es ist meine Schuld. Mir ist einfach nicht klar, ob Theta ein Vektor oder ein Skalar ist. Vielen Dank.
@cumfy θ ist eine der Koordinatenfunktionen im "Polarkoordinatensystem". Jede dieser Koordinatenfunktionen kann verwendet werden, um einen Tangentenvektor zu definieren; dh gegeben eine Koordinatenfunktion θ ( ⋅ ) , können Sie einen zugehörigen Tangentenvektor definieren ∂ ∂ θ an jedem Punkt. Diese Art von Diskussion wird normalerweise sehr sorgfältig in Büchern über Differentialgeometrie/gute Rechnungen mit mehreren Variablen behandelt

Das Chrisoffel-Symbol – oder die Verbindung zur Metrik – oder nur die Verbindung – ist das Ergebnis der Ableitung eines Vektorfelds – was dazu führen kann, dass sich das resultierende Vektorfeld dreht.

Um festzustellen, ob eine Mannigfaltigkeit intrinsisch oder extrinsisch gekrümmt ist, müssen Sie den Riemann-Krümmungstensor berechnen.

Zum Beispiel ist der Riemann-Krümmungstensor für euklidische und Minkowski-Räume null, da diese beiden Räume äußerlich flach sind – oder einfach nur flache Räume.

Es ist jedoch möglich, eine intrinsisch gekrümmte Oberfläche in einen flachen Raum einzubetten – in diesem Fall sind möglicherweise ein oder möglicherweise mehrere Chrisoffel-Symbole nicht Null –, aber der Riemann-Tensor ist immer noch Null.

Die Magie der Semi-Riemann-Verteiler ist die Verbindung, die als Levi-Civita bekannt ist und einzigartig ist.

Ein weiterer zu berücksichtigender Punkt ist, dass in der Hamiltonschen Mechanik die symplektische Struktur unabhängig von einer Metrik ist. Im regulären, nicht entarteten Fall kann diese Struktur auf das Tangentenbündel und den Bereich der Lagrange-Formulierung zurückgezogen werden.

Daher müssen Sie nicht mit der kovarianten Ableitung für die klassische Mechanik beginnen und können stattdessen eine allgemeinere, abstraktere Beschreibung erhalten.

Warum sehen wir die kovariante Ableitung nicht in der klassischen Mechanik?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v