Maxwellsche Gleichungen in gekrümmter Raumzeit

Ich weiß, dass wir die Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form schreiben können, und diese kovariante Form kann als Verallgemeinerung dieser Gleichungen in gekrümmter Raumzeit betrachtet werden, wenn wir gewöhnliche Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen. Aber ich habe irgendwo gelesen, dass diese Verallgemeinerung nicht eindeutig ist und nur die einfachste. Kann jemand einige Ressourcen zu diesem Thema vorstellen und wie Elektromagnetismus und Maxwells Gleichungen auf die gekrümmte Raumzeit verallgemeinert werden?

Können Sie bitte Referenzen angeben, wo Sie gelesen haben, "dass diese Verallgemeinerung nicht eindeutig und nur die einfachste ist"?
in einem Buch von Narlikar ("Einführung in die Kosmologie"), in einem Abschnitt über das Äquivalenzprinzip: "Diese Verallgemeinerung von (2.65) auf (2.66) heißt die minimale Kopplung des Feldes mit der Gravitation, da sie die einfachste ist möglich."
Vielleicht denkt er in Anlehnung an die Möglichkeiten mit der KG-Gleichung im gekrümmten Raum: ( ◻ + m 2 + ξ R ) ϕ = 0 wo ξ = 0 ist minimale Kopplung und ξ = 1 6 ist konforme Kopplung. (Birrell und Davies Gl. 3.26)?
Die Maxwell-Gleichungen charakterisieren die kritischen Punkte des Yang-Mills-Funktionals von a U ( 1 ) Hauptverbindung; Von einem subjektiven Standpunkt der mathematischen "Schönheit" aus argumentierend, würde jede Verallgemeinerung, die nicht mit einer ebenso schönen geometrischen Geschichte einhergeht, für mich zweifelhaft riechen ...

Antworten (1)

Aus diesem Grund bezweifle ich, dass es andere Möglichkeiten gibt, Maxwells Gleichungen auf gekrümmte Raumzeit zu verallgemeinern.

Die spezielle Relativitätstheorie wurde aus der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit erhalten. In der speziellen Relativitätstheorie ist das elektrische Feld kein Vektorfeld und das magnetische Feld kein Pseudovektor, sondern transformieren sie als Komponenten einer Zweierform F a b = ∂ a EIN b − ∂ b EIN a , wobei der Vierervektor EIN a enthält die Skalar- und Vektorpotentiale.

Die Maxwell-Gleichungen werden

d F = 0
d ∗ F = J

Beim Übergang zu gekrümmten Raumzeiten bleiben sie seit dem Hodge-Dual gleich ∗ wird an jedem Punkt definiert p des Verteilers, auf ∧ ∙ T p ∗ . Wenn sie in dieser Form ausgedrückt wird, ist die kovariante Ableitung nicht beteiligt, obwohl die Metrik an der beteiligt ist ∗ Operator.

Während ich die Verallgemeinerung der Maxwellschen Gleichungen auf die gekrümmte Raumzeit für sehr starr halte und hier der Einfachheit halber keine Wahl sehe, ist bekannt, dass es modifizierte (nichtlineare) Versionen wie die Born-Infeld-Theorie gibt . Aber sie entstanden nicht aufgrund einer gewissen Freiheit, Maxwells Gleichungen auf gekrümmte Raumzeiten zu verallgemeinern.

OK, gut, also bin ich nicht verrückt. Ich habe das gesehen, dachte dasselbe (war mir aber nicht sicher) und dachte, ich würde warten, bis jemand anderes darauf antwortet.
Ich habe nicht viel darüber nachgedacht, also verzeihen Sie mir, wenn das naiv ist, aber könnte man zum Beispiel keinen Term zu einer dieser Gleichungen hinzufügen, der im Minkowski-Raum verschwindet, und trotzdem die Eigenschaft bewahren, die die Gleichungen auf die Einsen reduzieren hast du bei EM in Minkowski aufgeschrieben? Natürlich wären diese Gleichungen in gewissem Sinne nicht so "einfach", aber ich versuche immer noch genau zu untersuchen, wie starr die Verallgemeinerung ist.
@joshphysics Am einfachsten wäre es, einen anderen EM-Lagrangian vorzuschlagen, der der übliche, akzeptierte ist, plus eine Abweichung höherer Ordnung. Dies ist genau das, was für alternative Gravitationstheorien getan wird, die GR in gewisser Näherung replizieren sollen, aber auf einer gewissen Längenskala ein unterschiedliches Verhalten haben.
Ich sehe Mostafas Kommentar mit der Referenz und stimme Narlikar und Joshphysics zu. Die Wahl der Verallgemeinerung ist auf das Prinzip der minimalen Kopplung zurückzuführen, das eine Folge des Äquivalenzprinzips ist. Mein Starrheitsargument enthält sie implizit, weil die ∗ Operator hängt nur von der Metrik und nicht von den kovarianten Ableitungen ab. Wir können Maxwells-Gleichungen unter Verwendung der kovarianten Ableitung schreiben, aber die Terme, die die Ableitungen der Metrik enthalten, heben sich tatsächlich gegenseitig auf.
Maxwellsche Gleichungen in gekrümmter Raumzeit
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