Metrik der folgenden Raumzeit und des Brechungsindex

Lassen Sie uns Metriken haben

$$ds^{2} = f(\mathbf r)dt^{2} - h(\mathbf r )\delta_{ij}dx^{i}dx^{j}.$$ Es ist heiß zu zeigen, dass die Bewegung von Licht in der Raumzeit mit dieser Metrik gleich der Bewegung in kontinuierlichen Medien mit Brechungsindex ist $n = \sqrt{\frac{h}{f}}$?

Ist es logisch, von Maxwell-Gleichungen in gekrümmter Raumzeit auszugehen,

$$D_{\mu}D^{\mu}A^{\nu} - R^{\nu}_{\quad \sigma}A^{\sigma} = 4\pi J^{\nu},$$ und zeigen Sie dann, dass es den Maxwell-Gleichungen für kontinuierliche Medien entspricht (übrigens, wie schreibt man sie für diesen Fall auf?)?

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Hmm, die Aufgabe ist fast gelöst.

Noch eine Bearbeitung.

Es ist gelöst.

Zuerst habe ich die Maxwell-Gleichung für Medien in Form von geschrieben

$$\partial_{\alpha}F_{\beta \gamma} + \partial_{\beta}F_{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma}F_{\alpha \beta} = 0, \qquad (1)$$ $$\quad \partial_{\beta}H^{\beta \alpha} = 4\pi j^{\alpha}, \qquad (2)$$ Wo $H^{\alpha \beta} = \varepsilon \eta^{\alpha \mu}\eta^{\beta \nu}F_{\mu \nu}$, $$\eta^{\alpha \mu} = diag \left(\sqrt{\mu \varepsilon}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} \right).$$ Diese Verbindung wird offensichtlich, wenn Sie die Verbindung aufschreiben $$F(\mathbf E , \mathbf B ) \to F(\mathbf D , \mathbf H ) = H(\mathbf D , \mathbf H ).$$ Zweitens habe ich die Gleichungen für die gekrümmte Raumzeit aufgeschrieben: $$D_{\alpha}f_{\beta \gamma} + D_{\beta}f_{\gamma \alpha} + D_{\gamma}f_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha}f_{\beta \gamma} + \partial_{\beta}f_{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma}f_{\alpha \beta} = 0, \qquad (3)$$ $$D_{\beta}h^{\beta \alpha} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\beta}(\sqrt{-g}h^{\beta \alpha}) = 4 \pi J^{\alpha}, \qquad (4)$$ Wo $h^{\beta \alpha} = g^{\beta \mu}g^{\alpha \nu}f_{\mu \nu}$, und wo ich die Gleichheit für die kovariante Ableitung des antisymmetrischen Tensors verwendet habe, wenn es die Faltung gibt.

Wenn Sie also Ersatz verwenden

$$F_{\alpha \beta} = f_{\alpha \beta}, \quad H^{\beta \alpha} = \sqrt{-g}g^{\alpha \mu}g^{\beta \nu}f_{\mu \nu}, \quad j^{\alpha} = \sqrt{-g}J^{\alpha},$$ die Gleichungen $(3), (4)$wird "reduziert". $(1), (2)$.

Dann bleibt nur noch, die Verbindung zwischen Metriken und zu finden$\varepsilon , \mu$. Es ist nicht schwer, wenn Metriken diagonal sind:

$$D^{i} = g^{i \alpha}g^{0\beta }F_{\alpha \beta} = -g^{i0}g^{0j}F_{j0} + g^{ij}g^{0l}F_{jl} + g^{ij}g^{00}F_{j0} = g^{ii}g^{00}F_{i0} = \frac{1}{fh}E^{i} = \varepsilon E^{i},$$ $$F^{ij} = g^{i \alpha}g^{j \beta }F_{\alpha \beta} = -g^{0i}g^{jk}F_{k0} + g^{ik}g^{j0}F_{k0} + g^{ik}g^{jl}F_{kl} = g^{ii}g^{jj}F_{ij} = \frac{1}{h^{2}}F_{ij} \Rightarrow$$ $$H_{m} = -\frac{1}{2}\varepsilon_{m ij}F^{ij} = \frac{B_{m}}{h^{2}} = \frac{B_{m}}{\mu},$$ So $$n = \sqrt{\varepsilon \mu} = \sqrt{\frac{h^{2}}{hf}} = \sqrt{\frac{h}{f}}.$$