Welche unterschiedlichen Näherungen ergeben Gravitoelektromagnetismus und Schwachfeld-Einstein-Gleichungen?

1. In dieser Antwort vertreten wir den Standpunkt, dass die GEM - Gleichungen kein erstes Prinzip für sich sind, sondern nur über einen geeigneten (zu bestimmenden) Grenzwert der linearisierten EFE gerechtfertigt werden können$^1$in 3+1D

   $$\begin{align} \kappa T^{\mu\nu}~\stackrel{\text{EFE}}{=}~& G^{\mu\nu}\cr ~=~&-\frac{1}{2}\left(\Box \bar{h}^{\mu\nu} + \eta^{\mu\nu} \partial_{\rho}\partial_{\sigma} \bar{h}^{\rho\sigma} - \partial^{\mu}\partial_{\rho} \bar{h}^{\rho\nu} - \partial^{\nu}\partial_{\rho} \bar{h}^{\rho\mu} \right) ,\cr \kappa~\equiv~&\frac{8\pi G}{c^4}, \end{align}\tag{1}$$ wo $$\begin{align}g_{\mu\nu}~&=~\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \cr \bar{h}_{\mu\nu}~:=~h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h \qquad&\Leftrightarrow\qquad h_{\mu\nu}~=~\bar{h}_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h}. \end{align} \tag{2}$$

2. Es mag andere Ansätze geben, die uns nicht bekannt sind, aber das Lesen von Ref. 1 scheint die relevante GEM-Grenze statischer E&M-Natur zu sein, wodurch Gravitationswellen/Strahlung scheinbar ausgeschlossen werden.

3. Konkret wird angenommen, dass es sich um Staub handelt :$^2$

   $$T^{\mu 0}~=~cj^{\mu}, \qquad j^{\mu}~=~\begin{bmatrix} c\rho \cr {\bf J} \end{bmatrix}, \qquad T^{ij}~=~{\cal O}(c^0). \tag{3}$$

4. Der einzige Weg, systematisch einen dominanten zeitlichen Sektor/eine statische Grenze zu implementieren, scheint darin zu bestehen, zur Lorenz-Eichung zu gehen$^3$

   $$\partial_{\mu} \bar{h}^{\mu\nu} ~=~0. \tag{4}$$ Dann vereinfacht sich das linearisierte EFE (1) zu $$G^{\mu\nu}~=~-\frac{1}{2}\Box \bar{h}^{\mu\nu}~=~\kappa T^{\mu\nu}. \tag{5}$$

5. In unserer Konvention lautet der GEM -Ansatz$^5$

   $$\begin{align} A^{\mu}~=~&\begin{bmatrix} \phi/c \cr {\bf A} \end{bmatrix}, \qquad\bar{h}^{ij}~=~{\cal O}(c^{-4}),\cr -\frac{1}{4}\bar{h}^{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} \phi/c^2 & {\bf A}^T /c\cr {\bf A}/c & {\cal O}(c^{-4})\end{bmatrix}_{4\times 4}\cr ~\Updownarrow~& \cr -h^{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} 2\phi/c^2 & 4{\bf A}^T/c \cr 4{\bf A}/c & (2\phi/c^2){\bf 1}_{3\times 3}\end{bmatrix}_{4\times 4} \cr ~\Updownarrow~& \cr g_{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} -1-2\phi/c^2 & 4{\bf A}^T/c \cr 4{\bf A}/c & (1-2\phi/c^2){\bf 1}_{3\times 3}\end{bmatrix}_{4\times 4}. \end{align}\tag{6}$$

6. Der Gravitations-Lorenz-Eich (4) entspricht der Lorenz-Eich-Bedingung

   $$c^{-2}\partial_t\phi + \nabla\cdot {\bf A}~\equiv~ \partial_{\mu}A^{\mu}~=~0 \tag{7}$$ und die "elektrostatische Grenze"$^4$ $$\partial_t {\bf A}~=~{\cal O}(c^{-2}).\tag{8}$$

7. Definieren Sie als nächstes die Feldstärke

   $$\begin{align} F_{\mu\nu}~:=~&\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}, \cr -{\bf E}~:=~&{\bf \nabla} \phi+\partial_t{\bf A}, \cr {\bf B}~:=~&{\bf \nabla}\times {\bf A}.\end{align} \tag{9}$$ Dann werden die zeitzeitlichen und die raumzeitlichen Sektoren des linearisierten EFE (1) zu den Gravitations-Maxwell-Gleichungen mit Quellen $$\partial_{\mu} F^{\mu\nu}~=~\frac{4\pi G}{c}j^{\mu}. \tag{10}$$ Beachten Sie, dass das Gravitationsfeld (elektrisches Feld).${\bf E}$sollte für eine positive Masse (Ladung) nach innen (aussen) sein. Aus diesem Grund haben in dieser Antwort / Wikipedia die GEM-Gleichungen (10) und die Maxwell-Gleichungen das Gegenteil$^5$Zeichen.

8. Interessanterweise eine Gravitationsmessgerät-Transformation der Form

   $$\begin{align}\delta h_{\mu\nu}~=~&\partial_{\mu}\varepsilon_{\nu}+(\mu\leftrightarrow\nu), \cr \varepsilon_{\nu}~:=~&c^{-1}\delta^0_{\nu}~\varepsilon, \end{align}\tag{11}$$ führt zu $$\delta h~=~-2c^{-1}\partial_0\varepsilon \tag{12}$$ und damit zu den üblichen Eichtransformationen $$\delta A_{\mu}~=~\partial_{\mu}\varepsilon.\tag{13}$$ Solche Eichtransformationen (13) bewahren die GEM-Gleichungen. (10), verstoßen aber gegen den GEM-Ansatz$\bar{h}^{ij}={\cal O}(c^{-4})$wenn nicht $$\partial_t\varepsilon~=~{\cal O}(c^{-2}).\tag{14}$$ Zusammenfassend ist die Lorenz-Eichbedingung (7) nicht notwendig, aber wir scheinen an der "elektrostatischen Grenze" (8) festzuhalten.

Verweise:

1. B. Mashhoon, Gravitoelectromagnetism: A Short Review, arXiv:gr-qc/0311030 .

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$^1$In dieser Antwort verwenden wir die Minkowski-Vorzeichenkonvention$(-,+,+,+)$und arbeiten im SI-System. Space-Indizes$i,j,\ldots \in\{1,2,3\}$sind römische Buchstaben, während Raumzeit-Indizes$\mu,\nu,\ldots \in\{0,1,2,3\}$sind griechische Buchstaben.

$^2$Achtung: Die$j^{\mu}$Strom (3) transformiert sich nicht kovariant unter Lorentz-Boosts. Die von Wikipedia erwähnten Nicht-Trägheitsrahmen sind vermutlich darauf zurückzuführen$g_{\mu\nu}$-metrisch (2) ist nicht-Minkowskisch.

$^3$Die Lorenz-Eichung (4) ist die linearisierte De-Donder/Harmonische-Eichung

$^4$Unkonventionell nennen wir Gl. (8) die "elektrostatische Grenze" seit dem Begriff$\partial_t{\bf A}$tritt in die Definition (9) von ein${\bf E}$.

$^5$Warnung: In Mashhoon (Ref. 1) haben die GEM-Gleichungen (10) und die Maxwell-Gleichungen das gleiche Vorzeichen. Zum Vergleich in dieser Phys.SE-Antwort