Maxwellsche Gleichung in gekrümmter Raumzeit - wie kommt das? Und experimentelle Beweise?

Ich versuche, die Verallgemeinerung der Maxwell-Gleichungen auf die gekrümmte Raumzeit zu verstehen .

In FLAT (Minkowski) RAUMZEIT:

Wenn wir das „Vier-Potenzial“ als definieren

  ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) = ( 1 C v , A 1 , A 2 , A 3 )  
und der "Vierstrom" als
( J 0 , J 1 , J 2 , J 3 ) = ( C ρ , J 1 , J 2 , J 3 )   .
Wir definieren den elektromagnetischen Feldtensor als:

F A B = ∂ A B ∂ X A − ∂ A A ∂ X B

Dann können wir die ursprünglichen vier Maxwell-Gleichungen kompakt als diese beiden Tensorgleichungen schreiben:

∂ A F A B = μ 0 J B

∂ C F A B + ∂ A F B C + ∂ B F A C = 0

Wo ∂ A ist die reguläre partielle Ableitung.

IN DER GEKRÜMMTEN RAUMZEIT:

Nehmen wir an, wir befinden uns in einer gekrümmten Raumzeit mit einem metrischen Tensor G A B das ist ganz anders als das von Minkowski.

Stimmt das: Wir reproduzieren das Obige ziemlich genau, außer mit C Ö v A R ich A N T   D e R ich v A T ich v e S anstelle der regulären partiellen Ableitung?

Nehmen wir an, wir haben einen Vektor mit Komponenten u A , dann schreibe ich die kovariante Ableitung der Komponenten als ∇ B u A = ∂ B u A + Γ   B C A u C , und Sie wissen, wie wir dies auf Tensoren höheren Ranges verallgemeinern können. Offensichtlich, Γ   B C A sind die Christoffel-Symbole zweiter Art, die die Krümmung der Raumzeit kodieren.

Dann lauten unsere Maxwell-Gleichungen also tatsächlich:

∇ A F A B = μ 0 J B

∇ C F A B + ∇ A F B C + ∇ B F A C = 0

......in einer gekrümmten Raumzeit?

Ich möchte verstehen, woher das kommt – dass wir die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen – ist das a H j P Ö T H e S ich S ? Ich vermute ja.

Und wenn ja, wurden groß angelegte (astronomische) Tests durchgeführt, um diese Gleichungen in der gekrümmten Raumzeit zu verifizieren? Vielleicht spielt man irgendwie mit elektromagnetischen Feldern in der Nähe eines Gravitationskörpers - ich habe keine Ahnung, wie das gemacht wird, ich bin nur neugierig.

Da lokal jede Krümmung vernachlässigbar ist, erhalten wir die Maxwell-Gleichungen auf gewöhnlichen Längenskalen zurück, sodass ich das Gefühl habe, dass es enorm schwierig wäre, diese Gleichungen auf Skalen zu testen, die groß genug sind, um die Auswirkungen der Krümmung zu bemerken.

Ersetzen ∂ μ → ∇ μ ist der einzigartige Weg, zu einer koordinatenunabhängigen Theorie zu gelangen, die sich lokal auf die ursprüngliche Theorie reduziert, wenn man zu lokal flachen Koordinaten geht. Ich weiß nicht, ob dies getestet wurde, aber es ist die akzeptierte Verallgemeinerung von EM, wenn die Rückreaktion auf die Geometrie vernachlässigt werden kann (dh die Schwerkraft ist nicht dynamisch).
Fun Fact: Wenn man Maxwellsche Gleichungen koordinatenunabhängig (wie man das sollte!) schreibt D F = 0 Und D ⋆ F = J , dann müssen Sie nichts ändern, wenn Sie in den gekrümmten Raum gehen.
@physicus Nicht ganz. Dies funktioniert beispielsweise nicht immer, wenn zweite Ableitungen vorhanden sind.
Es gibt eine Diskussion über das Problem der Krümmungskopplungsterme, wenn kovariante Ableitungen im Zusammenhang mit der Regel "Komma wird zu Semikolon" für Maxwells Gleichungen in Abschnitt 16.3 von "Gravitation" nicht kommutieren.
Beachten Sie, dass Sie zwei Fehler in Ihrer Gleichungsgröße haben ∂ C F A B + ∂ A F B C + ∂ B F A C = 0 . (1) Die Indizes sollen zyklisch permutiert werden, also der letzte Term ∂ B F C A = − ∂ B F A C . (2) Die Slots müssen sich in jedem Term an den gleichen Stellen (oben oder unten) befinden, um einen gültigen Tensor zu bilden; Daher sollten entweder alle Indizes erhöht oder alle gesenkt werden.

Antworten (1)

Wie ACuriousMind betonte, schrieben die Gleichungen für Elektromagnetismus unter Verwendung von Differentialformen,

D F = 0 , D ⋆ F = J

ergibt koordinatenunabhängige Ausdrücke, die auf jeder Mannigfaltigkeit gültig sind. Jetzt können wir im flachen Raum schreiben,

∂ μ A μ a − ∂ μ A μ a = 4 π J a .

Naiverweise würde man beim Übergang in den gekrümmten Raum wechseln ∂ μ → ∇ μ , und Sie haben Recht zu vermuten, dass dies nicht unbedingt gültig ist. Da kovariante Ableitungen nicht kommutieren, d.h.

( ∇ μ ∇ v − ∇ v ∇ μ ) A λ = A σ R λ μ v σ

Es gibt im Wesentlichen zwei Versionen, die wir durch Austausch zu kovarianten Ableitungen erzeugen könnten, die sind:

∇ μ A μ a − ∇ μ A μ a = 4 π J a , R μ a A μ + ∇ μ A μ a − ∇ μ A μ a = 4 π J a .

Es gibt kein allgemeines Rezept, um zu garantieren, was richtig ist, aber Misner, Thorne und Wheeler argumentieren, dass Sie Krümmungsterme nur für Ausdrücke erwarten sollten, die von Gleichungen von doppelt kovarianten Ableitungen abgeleitet sind oder diese beinhalten. Darüber hinaus sollte es einen physikalischen Grund für die Kopplung an die Krümmung geben, wenn die Regel eher auf physikalisch messbare Größen wie die Feldstärke angewendet wird A μ .

Es kann gezeigt werden, dass Ladungserhaltung erforderlich ist ∇ γ F a β + ∇ a F β γ + ∇ β F γ a = 0 ohne zusätzliche Krümmungsterme; Diese Gleichung ist im Wesentlichen D F = 0 . Davon abgesehen,

R μ a A μ + ∇ μ A μ a − ∇ μ A μ a = 4 π J a

ist die richtige Form, und es kann gezeigt werden, dass dies wahr sein muss, wenn ∇ β F a β = 4 π J a verwenden F a β = 2 A [ a β ] .

Betrachten Sie als weiteres Beispiel für diese Argumentation die Erhaltung des Drehimpulsvektors, ∇ u S = 0 für die Erde im flachen Raum, entlang einer Weltlinie ihrer Verbindung zum gekrümmten Raum, wissen wir, dass die Krümmungen anderer Körper Gezeitenkräfte auf der Erde hervorrufen, und da die Erde eine Art Ellipsoid ist, gibt es ein Drehmoment man würde erwarten ∇ u S Besitz einiger Riemann-Terme. Der Vollständigkeit halber stellt sich heraus

∇ u S a = ϵ a β γ δ ICH ¯ β μ R v γ ξ μ u δ u v u ξ

Wo u ist ein Viergang- und ICH ¯ ist der spurenfreie Anteil des zweiten Moments der Massenverteilung.

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