Äquivalenz zweier Formulierungen von Maxwell-Gleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Die Maxwell-Gleichungen in Differentialschreibweise lauten

$$dF = 0~, \qquad d\ast F = \ast J~.$$ Wir zeigen nun, dass diese Gleichungen äquivalent sind zu $\nabla_{[a} F_{bc]} = 0$, $\nabla_a F^{ab} = J^b$.

Erstens per Definition

$$\begin{align} \nabla_{[a} F_{bc]} = \partial_{[a} F_{bc]} + \Gamma^d_{[ab}F_{c]d} - \Gamma^d_{[ac} F_{b]d} \end{align}$$ Wenn die Verbindung torsionsfrei ist (nicht unbedingt die Levi-Civita-Verbindung), dann $\Gamma^a_{[bc]} = 0$so dass $$\begin{align} \nabla_{[a} F_{bc]} = \partial_{[a} F_{bc]} = \frac{1}{3} (dF)_{abc} \end{align}$$ Die letzte Gleichheit ist per Definition wahr. Daher, $\nabla_{[a} F_{bc]} \implies dF = 0$.

Betrachten Sie als Nächstes die zweite Gleichung

$$\begin{align} \nabla_a F^{ab} = \partial_a F^{ab} + \Gamma^a_{ac} F^{cb} + \Gamma^b_{ac} F^{ac} \end{align}$$ Wenn die Verbindung wiederum torsionsfrei ist, dann ist der letzte Term Null. Um den zweiten Term zu vereinfachen, müssen wir davon ausgehen $\Gamma$ist die Levi-Civita Verbindung damit $$\Gamma^a_{ac} = \frac{1}{2} g^{ab} ( \partial_a g_{cb} + \partial_c g_{ab} - \partial_b g_{ac} ) = \frac{1}{2} g^{ab} \partial_c g_{ab} = \frac{1}{2} \partial_c \log \det g = \frac{1}{\sqrt{\det g}}\partial_c \sqrt{\det g}$$ Dann haben wir $$\begin{align} \nabla_a F^{ab} = \partial_a F^{ab} + \frac{1}{\sqrt{\det g}}\partial_c \sqrt{\det g} F^{cb} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_a \left( \sqrt{\det g} F^{ab} \right)~. \end{align}$$ Also können wir die Maxwell-Gleichung schreiben als $$\partial_e \left( \sqrt{\det g} F^{ed} \right) = \sqrt{\det g} J^d$$ Ziehen Sie nun beide Seiten mit dem Levi-Civita- Symbol (nicht Tensor) zusammen, ${\tilde \varepsilon}_{abcd}$bekommen $$\partial_e \left( \sqrt{\det g} {\tilde \varepsilon}_{abcd} F^{ed} \right) = \sqrt{\det g}{\tilde \varepsilon}_{abcd} J^d$$ Erinnern Sie sich nun an den Levi-Civita-Tensor ${\varepsilon}_{abcd} = \sqrt{\det g} {\tilde \varepsilon}_{abcd}$ $$\partial_e \left( {\varepsilon}_{abcd} F^{ed} \right) = {\varepsilon}_{abcd} J^d = (\ast J)_{abc} \tag{1}$$ Die letzte Gleichheit ist per Definition wahr. Schließlich wollen wir die LHS in Bezug auf schreiben $\ast F$. Dazu schreiben wir $$F^{ed} = -\frac{1}{2} \varepsilon^{edmn} (\ast F)_{mn}$$ Dann, $$(\ast J)_{abc} = \frac{1}{2} \partial_e \left( {\varepsilon}_{abcd}\varepsilon^{demn} (\ast F)_{mn} \right)$$ Dann verwenden wir die Eigenschaft $${\varepsilon}_{abcd}\varepsilon^{demn} = 6 \delta^e_{[a} \delta^m_b \delta^n_{c]}$$ Endlich, $$(\ast J)_{abc} = 3 \delta^e_{[a} \delta^m_b \delta^n_{c]} \partial_e (\ast F)_{mn} = 3 \partial_{[a} (\ast F)_{bc]} = ( d \ast F )_{abc}$$ wobei die letzte Gleichheit wiederum die Definition von ist $d$. So sehen wir das $\nabla_a F^{ab} = J^b \implies d \ast F = \ast J$.

QED.

PS - Um Ihre letzte Frage zu beantworten. Die Differentialformnotation ist sich des Zusammenhangs durch das Hodge-Dual bewusst, in dem$\sqrt{\det g}$betritt. Beachten Sie auch, dass in der Divergenz von Any$p$-Form erscheint nur die folgende Komponente der Verbindung -$\Gamma^a_{ab}$das hängt ganz davon ab$\sqrt{\det g}$. Andere Komponenten erscheinen nie, dh in voller Allgemeinheit

$$\nabla_a T^{[abc\cdots]} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_a \left( \sqrt{\det g} T^{[abc\cdots]} \right)~.$$

Die beiden Formulierungen (1) und (2) sind äquivalent, hauptsächlich weil:

1. die Kovariante und die partielle Ableitung einer Antisymmetrie$(0,2)$Tensor$F_{\mu\nu}$ist äquivalent für eine torsionsfreie Verbindung.

2. die Levi-Civita-Verbindung bewahrt die Metrik$\nabla_{\lambda} g_{\mu\nu}=0$.

3. OPs Gl. (2a) liest lokale Koordinaten ein

   $$\pm J^{\nu}~=~\nabla_{\mu} F^{\mu\nu}~\equiv~\partial_{\mu} +\Gamma_{\mu\lambda}^{\mu}F^{\lambda\nu} +\Gamma_{\mu\lambda}^{\nu}F^{\mu\lambda}~=~\frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_{\mu}(\sqrt{|g|} F^{\mu\nu})~=~(\delta F)^{\nu} \tag{2a}$$ in Minkowski-Signatur$(\pm, \mp,\mp,\mp)$. Hier$\delta$ist das Hodge-Co-Differential , bis auf Vorzeichenkonventionen.

Wenn$\nabla$ist eine torsionsfreie Verbindung (nicht unbedingt Levi-Civita), dann für eine beliebige$k$-bilden$\omega_{a_1...a_k}$wir haben$(d\omega)_{a_1...a_{k+1}}=(k+1)\partial_{[a_1}\omega_{a_2...a_{k+1}]}=(k+1)\nabla_{[a_1}\omega_{a_2...a_{k+1}]}$. Wenn Sie in Bezug auf Verbindungskoeffizienten expandieren, werden die symmetrischen Verbindungskoeffizienten durch die Antisymmetrisierung getötet.

So$\nabla_{[a} F_{bc]}=0\Leftrightarrow dF=0$.

Für die erste Beziehung$\nabla_a F^{ab}=J^b$, schlagen Sie das Kodifferential nach . Es ist definiert als$\delta\omega=(-1)^k\star^{-1}d\star\omega$, so ist es im Grunde$\delta=\pm\star d\star$mit dem üblichen zeichen clusterf*ck hat man es bei der verwendung des hodge-sterns zu tun. Das Kodifferential ist in gewissem Sinne der "adjungierte" Operator von$d$, und es verringert den Grad einer Differentialform um eins und weiß auch$\delta\delta=0$(und ich denke auch eine eigene Version des Poincaré-Lemma).

Es kann gezeigt werden (siehe zum Beispiel die Allgemeine Relativitätstheorie von Norbert Straumann), dass das Kodifferential auf eine differentielle Form wirkt, indem es seine Divergenz über die Levi-Civita-Verbindung nimmt (denken Sie daran, dass der Hodge-Stern und damit das Kodifferential eine Metrik erfordert, also auch "sieht" die Levi-Civita-Verbindung), so$(\delta\omega)^{a_1...a_{k-1}}=\pm\nabla_a\omega^{aa_1...a_{k-1}}$(mal wieder nervige Schilder).

Nun ist die fragliche Maxwell-Gleichung gegeben durch$d\star F=\mathcal{J}$, aber dann$\mathcal{J}$ist hier eine 3er-Form. Also lassen Sie uns stattdessen haben$\mathcal{J}=\star J$, dann

$$d\star F=\star J, \\ \star^{-1} d\star F=J=\delta F.$$ Aber durch die vorherige Diskussion $(\delta F)^b=\pm\nabla_aF^{ab}$, also ist deine Formel gegeben.

Die Berechnung geht wie folgt 1) dF =0:
$F_{[\mu,\nu;\lambda]}=\frac{1}{3}(F_{\mu\nu;\lambda}+F_{\nu\lambda;\mu}+ F_{\lambda\mu;\nu})= \frac{1}{3}(F_{\mu\nu,\lambda}-\Gamma^\tau_{\mu\lambda}F_{\tau\nu}- \Gamma^\tau_{\nu\lambda}F_{\mu\tau} + F_{\nu\lambda,\mu}-\Gamma^{\tau}_{\nu\mu}F_{\tau\lambda}-\Gamma^{\tau}_{\lambda\mu}F_{\nu\tau} + F_{\lambda\mu,\nu} - \Gamma^{\tau}_{\lambda\nu}F_{\tau\mu} - \Gamma^{\tau}_{\mu\nu}F_{\lambda\tau})=\frac{1}{3}(F_{\mu\nu,\lambda}+F_{\nu\lambda,\mu}+ F_{\lambda\mu,\nu})$unter Ausnutzung der Antisymmetrie der 2 Indizes des elektromagnetischen Feldtensors und der Symmetrie der 2 unteren Indizes der Christoffel-Symbole (Torsion zu Null angenommen) heben sich die Terme mit den Christoffel-Symbolen auf.

2) d*F=J Wahrscheinlich ähnlich, aber ich kann es im Moment nicht herausfinden.