Folgen Lichtwellen in der Allgemeinen Relativitätstheorie exakt geodätischen Nullpfaden?

Question

Folgen Lichtwellen in der Allgemeinen Relativitätstheorie exakt geodätischen Nullpfaden?

Physik
Geodäten
Elektromagnetismus
geometrische Optik
Maxwell-Gleichungen
generelle Relativität

Ryan Unger

In der speziellen Relativitätstheorie kann man zeigen, dass eine ebene Wellenlösung der Maxwell-Gleichungen (im Vakuum) der Form $A^a=C^a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}$ hat die folgenden Eigenschaften: Die normale $k:=\mathrm{d}\psi$ zu den Flächen konstant $\psi$ ist ein Nullvektor und die integralen Kurven von $k$ sind Nullgeodäten. Hier $A$ ist das elektromagnetische Vektorpotential, $C$ ist ein konstanter Vektor und $\psi$ ist irgendeine Funktion.

Diese Analyse ist aufgrund der relativ einfachen Form der Maxwell-Gleichungen im flachen Raum möglich, $\partial^a\partial_a A^b=0$ (Lorenz-Eichung angenommen). In der gekrümmten Raumzeit haben wir jedoch einen zusätzlichen Term mit dem Ricci-Tensor, der für SR irrelevant ist:

\nabla^{a} \nabla_{a} {EIN}^{b} = R^{b}_{a} {EIN}^{a},

$\nabla^a\nabla_aA^b=R^b{}_aA^a,$ wo

\nabla

$\nabla$ ist die Levi-Civita-Verbindung unserer Raumzeit

(M, g)

$(\mathcal{M},g)$ und

R_{a b}

$R_{ab}$ seine Ricci-Krümmung.

Die Lehrbuchbehandlung soll sich nun mit Lösungen der Form befassen $A^a=C^a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}$ wo die kovarianten Ableitungen von $C$ sind klein." Um die Bedingung für $\mathrm{d}\psi$ null und autoparallel sein ( $\nabla_a\psi\nabla^a\psi=0$ ), muss man den Begriff ignorieren $\nabla_b\nabla^b C^a$ sowie der Ricci-Tensorterm. Die fehlenden Angaben finden sich in [1], Abschnitte 4.2 und 4.3. Diese Annäherung wird die Annäherung der geometrischen Optik genannt.

Ref. [2] gibt die folgenden charakteristischen Längen für die Strahlenoptik an (Abschnitt 2.8):

Die Wellenlänge $\lambda$ .
Die typische Länge $L$ über die Amplitude, Polarisation und Wellenlänge der Welle stark variieren.
Ein typischer "Krümmungsradius", der angenommen werden kann
$R := | typische Komponente des Riemann-Tensors in einem typischen lokalen Inertialsystem |^{- 1 / 2}$ $R:=\lvert\text{typical component of the Riemann tensor in a typical local inertial system}\rvert^{-1/2}$

Der Gültigkeitsbereich für die geometrische Optik ist dann $\lambda\ll L$ und $\lambda \ll R$ .

Frage:

Da man Terme in der vorhergehenden Analyse ignorieren muss, folgen Lichtstrahlen nicht tatsächlich Null-Geodäten in GR? Ist $\mathrm{d}\psi$ sogar null? Wie verhalten sich außerdem wellenartige Lösungen der Maxwell-Gleichungen über Längenskalen, die größer sind als die in [2] angegebenen (dh über Längenskalen, bei denen die Krümmung von $\mathcal{M}$ kann stark und schnell variieren). Insbesondere, inwieweit bewegen sie sich entlang Null-Geodäten?

Bitte beachten Sie: Das Argument, dass masselose Teilchen sich im flachen Raum entlang Null-Geodäten bewegen, so dass dasselbe (nach dem Äquivalenzprinzip) im gekrümmten Raum gelten muss, ist keine Antwort auf diese Frage. Ich frage nach wellenartigen Lösungen der Maxwell-Gleichungen. Licht ist klassischerweise nur eine Wellenlösung der Vakuum-Maxwell-Gleichungen. Jede Antwort sollte eine strenge Analyse der Maxwell-Gleichungen enthalten (oder darauf verweisen). Dies ist keine Frage, die gut beantwortet werden kann, indem man ein paar Gleichungen aufstellt, die jeder kennt, und die Wörter im OP pingelig macht. (Anscheinend hatte ein Mitglied der Seite diesen Eindruck nicht, also mache ich es klarer.)

Verweise:

[1] Wald, RM Allgemeine Relativitätstheorie. Chicago University Press, 1984.

[2] Straumann, N. Allgemeine Relativitätstheorie. Springer, 2013.

Javier

Ich kenne die Antwort auf Ihre Frage definitiv nicht, aber was ist, wenn Sie die Feldstärke verwenden?

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ statt des Potenzials? Sie würden die gleiche Situation wie in SR erhalten. Die Gleichung für

A_{μ}

$A_\mu$ scheint das Äquivalenzprinzip zu verletzen, indem der Ricci-Tensor eingeschlossen wird; Ich sage nicht, dass es falsch ist (weil das Potenzial nicht eicheninvariant ist usw.), aber es fühlt sich auf jeden Fall seltsam an.

Ryan Unger

@Javier Es stellt sich heraus, dass der Ricci-Tensorterm erforderlich ist

div j = 0

$\operatorname{div}j=0$ (

j

$j$ ist der EM 4-Strom), wenn wir im Nicht-Vakuum arbeiten würden. Zusätzlich benötigen wir den Krümmungsterm, um die Eichinvarianz innerhalb der Lorenz-Eichung aufrechtzuerhalten.

Bert Barrois

Hier ist ein weiteres sehr intuitives Argument, aber es ist weniger als eine Antwort. Wellenpakete haben immer eine endliche Ausdehnung, und im gekrümmten Raum wird es immer Gezeitenkräfte geben. Außer in Regionen, wo

T^{00} > 0

${{T}^{00}}>0$ , dehnen die Gezeitenkräfte das Paket in einigen Raumrichtungen und stauchen es in anderen. Es gibt keinen sinnvollen Weg, den Schwerpunkt des Pakets zu definieren.

Antworten (2)

Folgen Lichtwellen in der Allgemeinen Relativitätstheorie exakt geodätischen Nullpfaden?

Ich kenne die Antwort auf Ihre Frage definitiv nicht, aber was ist, wenn Sie die Feldstärke verwenden? $F_{\mu\nu}$ statt des Potenzials? Sie würden die gleiche Situation wie in SR erhalten. Die Gleichung für $A_\mu$ scheint das Äquivalenzprinzip zu verletzen, indem der Ricci-Tensor eingeschlossen wird; Ich sage nicht, dass es falsch ist (weil das Potenzial nicht eicheninvariant ist usw.), aber es fühlt sich auf jeden Fall seltsam an.
@Javier Es stellt sich heraus, dass der Ricci-Tensorterm erforderlich ist $\operatorname{div}j=0$ ( $j$ ist der EM 4-Strom), wenn wir im Nicht-Vakuum arbeiten würden. Zusätzlich benötigen wir den Krümmungsterm, um die Eichinvarianz innerhalb der Lorenz-Eichung aufrechtzuerhalten.
Hier ist ein weiteres sehr intuitives Argument, aber es ist weniger als eine Antwort. Wellenpakete haben immer eine endliche Ausdehnung, und im gekrümmten Raum wird es immer Gezeitenkräfte geben. Außer in Regionen, wo ${{T}^{00}}>0$ , dehnen die Gezeitenkräfte das Paket in einigen Raumrichtungen und stauchen es in anderen. Es gibt keinen sinnvollen Weg, den Schwerpunkt des Pakets zu definieren.

ja · Answer 1

Aus Gründen der Klarheit ist es meiner Meinung nach am besten, mit der Minkowski-Raumzeit zu beginnen.

Die Gleichung, die wir zu lösen versuchen, um die Strahlung eines Punktteilchens zu verstehen, lautet:

◻ {EIN}^{b} = j^{b}

$\square A^{b}=j^{b}$

mit dem Messgerät $\nabla_{a}A^{a}=0$ und $j^{b}$ ist die Stromdichte.

Das Potenzial

\begin{array}{rcl} {EIN}^{b} (t, x) & = & \int G_{a}^{b} (t, x, t^{'} x^{'}) j^{a} (t^{'}, x^{'}) d x^{' 3} d t \\ = & \int δ_{a}^{b} δ (t - t' - | x - x' |) ∕ | x - x' | j^{a} (t^{'}, x^{'}) d x^{' 3} d t^{'} \end{array}

$\begin{eqnarray} A^{b}(t,x)&=&\int G^{b}_{a}(t,x,t'x')j^{a}(t',x')dx'^{3}dt\\ &=&\int\delta_{a}^{b}\delta(t−t′−|x − x′|)∕|x − x′|j^{a}(t',x')dx'^{3}dt' \end{eqnarray}$

wo $G^{b}_{a}$ ist die grüne Funktion mit Unterstützung im vergangenen Lichtkegel. Tatsächlich das Potenzial $A^{b}(t,x)$ hängt nur von dem einzelnen Ereignis ab $(t',x')$ in der Vergangenheit ist das der Schnittpunkt zwischen dem Nullkegel aus $(t,x)$ und die Weltlinie des Teilchens.

Nun in der gekrümmten Raumzeit die Verallgemeinerung

\begin{array}{rcl} {EIN}^{b} (t, x) & = & \int G_{a}^{b} (t, x; t^{'} x^{'}) j^{a} (t, x) d v \\ = & \int δ_{a}^{b} δ (γ (t, x, t^{'} x^{'})) ∕ Γ (x - x') | j^{a} (t^{'}, x^{'}) \sqrt{(} g) d x^{' 3} d t^{'} \end{array}

$\begin{eqnarray} A^{b}(t,x)&=&\int G^{b}_{a}(t,x;t'x')j^{a}(t,x)dV\\ &=&\int\delta_{a}^{b}\delta(\gamma(t,x,t'x'))∕\Gamma(x − x ′)|j^{a}(t',x')\sqrt(g)dx'^{3}dt' \end{eqnarray}$

wo $\gamma$ ist die geodätische Null zwischen den beiden Punkten $(t,x),(t',x')$ und $\Gamma$ ist der Abstand in Bezug auf die induzierte Metrik einer geeigneten raumartigen Oberfläche, die enthält $x,x'$ funktioniert nicht.

In allgemein gekrümmten Raumzeiten würde die retardierte Green-Funktion vom gesamten kausalen Vergangenheitskegel und nicht nur vom Vergangenheitslichtkegel abhängen. Diese Abhängigkeit ergibt sich aus der Wechselwirkung mit der Krümmung und hängt mit den zusätzlichen Termen zusammen, auf die Sie hinweisen, die für Minkowski verschwinden.

Daher wird das Potential nicht nur durch die Informationen definiert, die entlang der Null-Geodäten reisen, sondern hängt von der gesamten Vergangenheit des Teilchens ab. Dennoch bewegen sich Singularitäten des Feldes global entlang Null-Geodäten. Dies ist der Inhalt der Fortpflanzung von Singularitätssätzen für lineare hyperbolische Systeme und hängt mit dem geometrisch-optischen Limes zusammen.

Da Sie eine strenge Analyse benötigten, werde ich Sie auf einige Papiere mit entsprechenden Berechnungen verweisen:

Abschnitt 1.4 von http://relativity.livingreviews.org/open?pubNo=lrr-2011-7&page=articlese1.html

http://arxiv.org/abs/1108.1825

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0008047

Beachten Sie auch, dass es bei meiner Antwort nur um Elektromagnetismus in gekrümmter Raumzeit geht. Um über die Allgemeine Relativitätstheorie zu sprechen, müssten wir auch nach den Einstein-Gleichungen lösen. Das Punktpartikel beeinflusst die Metrik als selbsterzwingende Korrekturen der Hintergrundmetrik. Diese Art von Korrekturen werden in der ersten Referenz ausführlich behandelt.

Interessant, aber ich werde den Scheck erst ausstellen, wenn ich Zeit hatte, die verlinkten Papiere zu prüfen ... was eine Weile dauern kann. +1 sowieso.

Mike Stein · Answer 2

Das ist eine Frage, die mich selbst interessiert. Das Photon hat Spin-1 und rotierende Teilchen folgen keiner Geodäte. Die Bewegung ist stattdessen durch die Mathisson-Papapetrou-Gleichungen gegeben. Diese funktionieren gut für Teilchen mit Masse, werden aber degeneriert, wenn die Teilchen masselos sind.

Dieses Problem entsteht, weil die Position des Strahls masseloser rotierender Teilchen vom Rahmen des Beobachters abhängt (siehe unsere Darstellung dazu in Phys. Rev. Lett. 114, 210402 (2015)). Ich gehe davon aus, dass die geometrische Raytracing-Grenze des gekrümmten Raums Maxwell eine anomale Geschwindigkeit der Art enthalten wird, die jetzt in der Bandtheorie in Festkörpern bekannt ist, wo die Berry-Phase eine Korrektur zur naiven Geschwindigkeit hinzufügt, aber eine saubere Form davon erhält Gleichungen sieht hart aus. Ich empfehle das Papier (arXiv:1404.5963) von Misha Stephanov über die Lorentz-Invarianz in chiralen Theorien, das arxiv, um zu erfahren, wie dies für Spin 1/2 funktioniert. Spin-1 muss ähnlich sein.

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Ryan Unger

Javier

Ryan Unger

Bert Barrois

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Ryan Unger

Mike Stein

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