Bewegungsgleichung für ein geladenes Teilchen

Um die Bewegungsgleichungen eines neutralen Testteilchens im Gravitationsfeld zu berechnen, benötigt man den metrischen Tensor$g_{\mu \nu}$Und$g^{\mu \nu}$um die Christoffel-Symbole zu berechnen

$${\Gamma^{\rm i}_{\rm j k} = \sum _{\rm s=1}^4 \ \frac{{{g}}^{\rm i s}}{2} \left(\frac{\partial {g}_{\rm s j}}{\partial {\rm x^k}}+\frac{\partial {g}_{\rm s k}}{\partial {\rm x^j}}-\frac{\partial {g}_{\rm j k}}{\partial {\rm x^s}}\right)}$$

und erhalte die Koordinatenbeschleunigung des Testteilchens:

$${{\rm \ddot x^{i} = -\sum _{j=1}^4 \sum _{k=1}^4 \ \dot x^j \ \dot x^k \ \Gamma^{i}_{j k}}}$$

Aber in der Nähe einer Ladung gibt es nicht nur den metrischen Tensor, der so aussehen könnte

$$g_{\mu \nu}=\left( \begin{array}{cccc} g_{\rm t t} & 0 & 0 & g_{\rm t \phi} \\ 0 & g_{\rm r r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g_{\rm \theta \theta} & 0 \\ g_{\rm t \phi} & 0 & 0 & g_{\rm \phi \phi} \\ \end{array} \right)$$

bei dem die$g$-Komponenten sind Funktionen der Koordinaten und Masse, Ladung und Spin, aber auch ein Coulomb-Potential, wie es aussieht

$$\rm A_{\alpha}=(Q/r,0,0,0)$$

Wie wird das Coulomb-Potential in die geodätische Gleichung eingesetzt? Der metrische Tensor ist a$4 \times 4$Matrix, aber das Coulomb-Potential scheint zu sein$1 \times 4$, wie wird dies addiert, um die Geodäten zu finden$\rm \ddot x^i$eines geladenen Ladungsteilchens$\rm q$in der Nähe einer dominanten Ladungsmasse$\rm Q$?

Auf Wikipedia habe ich die Gleichung gefunden

$${{\rm \ddot x^i = - \Gamma^i_{j k}{\dot x^j}{\dot x^k}\ +\frac{q}{m} \ {F^{i k}} \ {\dot x^j}} \ {g_{\rm j k}}}$$

aber es gibt keine Definition von${\rm F^{i k}}$, der, wie Chrisoph und Eddy erwähnt haben, der elektromagnetische Tensor ist. Aber was ist der elektromagnetische Tensor für die Kerr-Newman-Metrik in Kugelkoordinaten (Boyer Lindquist)?

Bearbeiten: Danke für die Antworten, das ist, was ich bisher bekommen habe: Screenshot