Stimmt etwas mit dieser numerischen Simulation der Schwarzschild-Photonenbahnen nicht?

Question

Stimmt etwas mit dieser numerischen Simulation der Schwarzschild-Photonenbahnen nicht?

Yukterez

Dies ist eine Folgefrage zu der Antwort unter Was ist die genaue Gravitationskraft zwischen zwei Massen einschließlich relativistischer Effekte? . Leider ist der Autor seit einigen Jahren nicht mehr online und antwortet daher nicht mehr auf Kommentare.

In der dort gegebenen Antwort stand die Differentialgleichung der Bewegung in Schwarzschildkoordinaten

\ddot{r} = - \frac{G m}{r^{2}} + r {\dot{θ}}^{2} - \frac{3 G m}{c^{2}} {\dot{θ}}^{2}

$\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{ {\color{red} 3} G m}{c^2}\dot{\theta}^2$

für die Radialbeschleunigung und

\ddot{θ} = - \frac{2}{r} \dot{r} \dot{θ}

$\ddot{\theta} = -\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$

für die Winkelbeschleunigung. Wenn ich den Weg für ein Objekt nahe der Lichtgeschwindigkeit zeichne, erhalte ich mit dieser Formel eine stabile Umlaufbahn $r_0=2 r_s$ :

Aber sollte das nicht sein $r_0=1.5 r_s$ , die Photonenkugel ? Mit dieser Formel würde das umkreisende Teilchen zum Beispiel sehr schnell in das Schwarze Loch fallen $v_0=0.999c$ bei $r_0=1.6 r_s$ :

Wenn ich den Begriff 3Gm/c² durch 2GM/c² ersetze, so dass

\ddot{r} = - \frac{G m}{r^{2}} + r {\dot{θ}}^{2} - \frac{2 G m}{c^{2}} {\dot{θ}}^{2}

$\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{ {\color{red} 2} G m}{c^2}\dot{\theta}^2$

Ich erhalte das erwartete Ergebnis mit einer stabilen Umlaufbahn direkt an der Photonenkugel (wieder Anfangsgeschwindigkeit $v_0=0.999c$ ):

Meine Frage ist also: Ist die Formel falsch und muss der Faktor 3 durch einen Faktor 2 ersetzt werden, oder gibt es unterschiedliche Mindestabstände für stabile Umlaufbahnen, einen für Teilchen und einen für Photonen? Oder habe ich etwas anderes übersehen? Wikipedia sagt:

Der Radius der Photonenkugel, der auch die Untergrenze für jede stabile Umlaufbahn ist, ist $1.5 r_s$

Ich würde also erwarten, dass auch Teilchen mit Masse in der Umlaufbahn bleiben sollten, wenn sie sich nahe der Lichtgeschwindigkeit und etwas über der Photonenkugel befinden.

Zur Reproduktion des Problems liegt der Mathematica-Code so vor, wie ich ihn für richtig halte (mit dem Faktor 2 statt 3)

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Knzhou · Answer 1

Hier scheint es mehrere Verwechslungen zu geben. Massive und masselose Teilchen verhalten sich qualitativ unterschiedlich, auch wenn sich das massive Teilchen sehr schnell fortbewegt.

Der minimale Radius für eine stabile Umlaufbahn für ein massives Teilchen ist $3 r_s$ . Kreisbahnen oberhalb dieses Radius sind alle stabil.
Masselose Teilchen haben nur Kreisbahnen an der Photonenkugel, $(3/2) r_s$ . Diese Bahnen sind nicht stabil, Wikipedia irrt sich. Masselose Teilchen gehorchen auch einer anderen Bewegungsgleichung.

Die andere Verwirrung besteht darin, dass das, was Ihre Simulationen zeigen, nichts mit Stabilität zu tun hat. Ihre Partikel fallen in die Mitte, weil Sie ihnen nicht die richtige Anfangsgeschwindigkeit geben. Es ist wie in der klassischen Mechanik: Wenn man der Erde plötzlich die halbe Geschwindigkeit wegnehmen würde, würde sie anfangen, nach innen zu fallen. Um sie auf die richtige Anfangsgeschwindigkeit zu initialisieren, müssen Sie nach lösen $\dot{\theta}$ so dass $\ddot{r} = 0$ .

Dies steht im Gegensatz zum masselosen Fall, wo die Anfangsgeschwindigkeit bereits für Sie bestimmt ist (dh es ist die Lichtgeschwindigkeit).

Also der Faktor 3 in $\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - ({\color{red} 3} G m/c^2)\dot{\theta}^2$ ist richtig für massive Teilchen?
Danke und +1. Trotzdem verstehe ich immer noch nicht, warum ich meine stabile Umlaufbahn für Teilchen bei r0 = 2rs mit v0 = 0,999c und nicht bei 3rs bekomme, da die anfängliche Winkelgeschwindigkeit, die ich gebe, v0 / r0 ist und dies die richtige Länge und Zeit und wie ich sein sollte verstehe es daher auch mit richtiger Geschwindigkeit, aber ich hoffe, ich werde das auch herausfinden ...
Sehr gut bis auf eine Sache; Wir testen die Stabilität, indem wir v stören und sehen, was passiert.
Ihre Antwort hat wirklich geholfen, aber sind Sie sicher, dass "der Mindestradius für eine stabile Umlaufbahn für ein massives Teilchen 3 rs beträgt"? Wenn ich alle Kontraktionen kompensiere, sind es immer noch 1,5 rs, wie Wikipedia sagt. Haben Sie ein Angebot für die 3 rs, oder ist meine Berechnung (siehe unten) jetzt korrekt?
@СимонТыран Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Wenn man sich Ihre Antwort ansieht, sieht es so aus $1.5 r_s$ Die Umlaufbahn ist erwartungsgemäß instabil.

Yukterez · Answer 2

Dank des Hinweises von knzhou habe ich herausgefunden, dass wenn man dem Teilchen eine richtige Anfangsgeschwindigkeit von geben will $v_0$ , die Anfangsgeschwindigkeit in Schwarzschild-Koordinaten $v_i$ wäre dann

\dot{θ} (0) \cdot r (0) = \frac{{v ⊥}_{0}}{\sqrt{1 - v_{0}^{2} / c^{2}}}

$\dot{\theta}(0)\cdot r(0) = \frac{{v\perp}_0}{ \color{green}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}}$

für die transversale Komponente und

\dot{r} (0) = \frac{{v ∥}_{0} \cdot \sqrt{1 - r_{s} / r_{0}}}{\sqrt{1 - v_{0}^{2} / c^{2}}}

$\dot{r}(0) = \frac{{v\parallel}_0\cdot \color{blue}{\sqrt{1-r_s/r_0}}}{ \color{green}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}}$

für die radiale Komponente, da man die gravitative Längenkontraktion (blau) und die Längenkontraktion durch die Teilchengeschwindigkeit (grün) in Bezug auf die Eigenzeit des Teilchens kompensieren muss.

Jetzt erhalte ich die erwarteten Ergebnisse: eine kreisförmige Umlaufbahn mit transversaler Anfangsgeschwindigkeit um die Photonenkugel und ein stationäres Teilchen mit nach außen gerichteter Anfangsgeschwindigkeit um den Ereignishorizont, wenn v0 nahe c gesetzt wird.

Sie könnten vielleicht die Geschwindigkeit in Koordinatenzeit als einen der Parameter hinzufügen, die Sie unter der Simulation überprüfen. Nur um sicherzustellen, dass das Objekt wie vorgesehen an Geschwindigkeit verliert und dann am Schwarzschild-Radius anhält.
Die Frage ist 3 Jahre alt, inzwischen habe ich schon einen Simulator gebaut, der die lokale und verzögerte Geschwindigkeit anzeigt und der als Animationsparameter von Eigenzeit auf Koordinatenzeit umschalten kann, siehe kerr.newman.yukterez.net

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