Maxwellsche Gleichungen in gekrümmter Raumzeit

Eigentlich sind die Dinge einfacher als man denkt.

Der mit kovarianten Ableitungen oder mit standardmäßigen partiellen Ableitungen definierte elektromagnetische Feldtensor ist derselbe, einfach aufgrund der Antisymmetrie dieses Tensors:

da die Christoffel-Symbole in einem Raum ohne Torsion in den letzten beiden Indizes symmetrisch sind$\Gamma^\tau_{\mu\nu} = \Gamma^\tau_{\nu\mu}$.

Tatsächlich kann der elektromagnetische Feldtensor im gekrümmten Raum als 2-Form gesehen werden$F$was sich aus der äußeren Ableitung der 1-Form ergibt$A$,

das 4-Potenzial. Eine äußere Ableitung benötigt keine weitere Struktur, dh insbesondere keine Verbindung wie die Christoffel-Symbole. Also denke ich sogar, diese Gleichung$F=dA$hält sogar auf einem Platz mit Torsion.

Wenn es darum geht$\vec{B}$Und$\vec{A}$, sie sind nur eine Teilmenge von$F$Und$A$, also sollte dies auch für die Teilmenge gelten. Also$\vec{B}$möglicherweise nicht als Standardvektor transformieren, aber die Beziehung zwischen$\vec{B}$Und$\vec{A}$sollte gleich sein (ich habe beide mit einem Vektorarray versehen, aber ich habe es nur getan, um sie zu identifizieren, nicht wegen ihres Transformationsverhaltens bei Koordinatenänderung).

Den Curl in allgemeinen Koordinaten oder in FRW zu berechnen ist etwas umständlich, siehe Tensor- und Vektortransformation unter allgemeinen Koordinaten (Nun, es gibt vielleicht Tricks für äußere Ableitungen, die die Arbeit erleichtern).

In gekrümmten Raumzeiten kann es aus zwei Gründen etwas komplizierter werden: Zum einen kann man das elektromagnetische Feld kaum noch als Vektorpaar sehen, sondern es ist in einem einzigen elektromagnetischen Tensor zusammengefasst $F_{\mu\nu}$. In der flachen Raumzeit hat man$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$, die die relativistische Version der Formel ist, die Sie geschrieben haben (auch kombiniert mit$\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla}\phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$). In gekrümmter Raumzeit verallgemeinert sich dieser Ausdruck zu$F_{\mu\nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu$, Wo$\nabla_\mu$ist die kovariante Ableitung. Auf einem Trägheitskoordinatensystem mit einer Zeitkomponente und drei räumlichen Komponenten verschwinden die Christoffel-Symbole und diese Gleichung reduziert sich auf den üblichen Ausdruck, sodass Ihre Formel gültig ist, aber nur lokal. Trotzdem die Existenz des Viererpotentials$A_\mu$ist ebenfalls nur lokal sichergestellt.

Kurz gesagt, der von Ihnen angegebene Ausdruck gilt lokal für ein Trägheitskoordinatensystem mit einer zeitähnlichen Koordinate und drei raumähnlichen Koordinaten.

Maxwell-Gleichungen, als er sie zum ersten Mal niederschrieb, waren ein System von zwanzig Gleichungen. Die Maxwell-Gleichungen, die wir jetzt kennen, wurden von Heaviside mit Gibbs Vektorrechnung niedergeschrieben. Dies ist ein System aus vier Gleichungen.

Unter Verwendung der Tensorrechnung und nach Einstein bedeutet die Erkenntnis, dass wir uns Zeit und Raum zusammen als Raumzeit vorstellen sollten, dass wir diese vier Gleichungen einfach als zwei schreiben können. Da dies Tensorgleichungen sind, funktionieren sie auf jeder gekrümmten Mannigfaltigkeit jeder Dimension.

Dies wird normalerweise in Cartans Formalismus der Differentialformen wie folgt geschrieben:

$dF = 0$Und$\delta F = j$

Da der Hodge-Stern verwendet wird, bedeutet dies, dass die Mannigfaltigkeit semi-riemannisch sein muss.