Wie kann ich die Metrik in der schwachen Feldgrenze für eine bestimmte Theorie finden?

Die üblichen Schritte sind:

1. Leiten Sie die vollständigen Euler-Lagrange-Gleichungen aus der Lagrange-Funktion Ihrer Theorie ab. Es wird ein Analogon der Einstein-Gleichung geben (aus der Variation von$\mathcal{L}$bezüglich der Metrik) und einige Bewegungsgleichungen für die anderen Felder$\Psi^\alpha$in deiner Theorie. Vergessen Sie nicht, die Ableitungsoperatoren zu variieren, wenn Sie die Variationen in Bezug auf die Metrik nehmen.

2. Finden Sie eine Hintergrundlösung. Für „schwaches Feld“ meinen wir normalerweise, dass die Metrik Minkowski ($g_{ab} = \eta_{ab}$). Wenn Ihre Theorie andere Feldinhalte enthält, müssen Sie sicherstellen, dass deren Bewegungsgleichungen auch im Fall einer flachen Raumzeit eingehalten werden. Dies impliziert bestimmte Bedingungen für die Hintergrundwerte$\bar{\Psi}^\alpha$der anderen Felder. Oft werden Sie feststellen, dass die "Hintergrundwerte" der Felder sind$\bar{\Psi}^\alpha = 0$, aber in einigen Fällen (z. B. bei spontaner Symmetriebrechung) verschwinden diese Felder nicht in der Hintergrundlösung.

3. Setzen Sie folgenden Ansatz in die Bewegungsgleichungen (sowohl metrisch als auch "Materie") ein:

   $$g_{ab} = \eta_{ab} + \epsilon \eta_{ab} + \mathcal{O}(\epsilon^2), \qquad \Psi^\alpha = \bar{\Psi}^\alpha + \epsilon \psi_\alpha + \mathcal{O}(\epsilon^2).$$ Hier,$\epsilon$ist ein Parameter, der unsere Abweichungen von unserer flachen „Hintergrund“-Lösung parametrisiert. Wenn$\epsilon = 0$, stellen wir die Hintergrundlösung wieder her; und das$\mathcal{O}(\epsilon)$Terme in den Bewegungsgleichungen ergeben die linearisierten Gleichungen.

4. Schreiben Sie die linearisierte metrische Gleichung in Form von zeitlichen und räumlichen Ableitungen der Komponenten der Felder auf. Nehmen Sie an, dass alle Zeitableitungen verschwinden. Wenn Ihre modifizierte Gravitationstheorie nicht zu avantgardistisch ist, hängt das resultierende Gleichungssystem von den Hintergrundfeldern ab$\eta_{ab}$Und$\bar{\Psi}^\alpha$und die metrischen Störungen$h_{ab}$. Insbesondere wird das Analogon der Poisson-Gleichung sein, was auch immer Ihre Gleichungen über die Komponente implizieren$h_{tt}$der metrischen Störung.

Weitere Informationen finden Sie in Walds Allgemeiner Relativitätstheorie für die mathematischen Details. (Die Störungstheorie wird in Abschnitt 7.5 behandelt, und wie man Variationen in Bezug auf die Metrik durchführt, wird in Abschnitt E.1 behandelt.) Clifford Wills The Confrontation between General Relativity and Experiment und sein früheres Buch Theory and Experiment in Gravitational Physics , beides haben eine schöne Darstellung, wie man von einer "vollständigen" modifizierten Gravitationstheorie zu einer quasi-Newtonschen oder post-Newtonschen Theorie kommt.