Erweiterungen höherer Ordnung eines gravitativ gekoppelten Systems durch Störung der Metrik

In der Literatur (siehe z. B. Seite 142 von https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 ) schreibt man bei der Linearisierung eines Gravitationssystems (rein oder materiell gekoppelt) um den Minkowski-Raum oft die Metrik als G M N = η M N + H M N . Der H M N wird normalerweise behauptet, eine kleine Störung der Metrik zu sein, und die inverse Metrik zur ersten Ordnung wird geschrieben G M N = η M N − H M N . Dadurch können wir eine Reihenentwicklung an verschiedenen geometrischen Objekten (wie Krümmung, Verbindungen etc.) durchführen.

Meine Frage ist folgende: Wenn wir das tun, fordern wir das überhaupt? G M N = η M N + H M N genau hält, und dann die inverse Metrik nach erster Ordnung zu berechnen? Diese Deutung ändert zunächst einmal nichts, aber wenn wir mal weiter wollen Auftrag von oben es tut. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen eine Entwicklung zweiter Ordnung durchführen, dann stehen uns (mindestens) die folgenden zwei Möglichkeiten gegenüber:

  1. Wir fordern G M N = η M N + H M N gilt für alle Ordnungen und berechnet die inverse Metrik zur zweiten Ordnung als G M N = η M N − H M N + H M k H k N . Dies erfolgt zB in https://arxiv.org/abs/hep-th/9411092v1 , siehe Gl. (2.9) und (2.10).
  2. Als Annäherung zweiter Ordnung schreiben wir die Metrik als G M N = η M N + H M N + 1 2 H M k H k N und berechne seine Inverse zur zweiten Ordnung als G M N = η M N − H M N + 1 2 H M k H k N .

Ob wir Option (1) oder (2) wählen, wirkt sich auf die expliziten Formen von Erweiterungen höherer Ordnung geometrischer Objekte aus. Wenn wir dann beispielsweise Schema (1) verwenden, um die Einstein-Hilbert-Wirkung zu linearisieren, würden wir zu einer anderen quadratischen Wirkung kommen, als wenn wir Schema (2) verwendet hätten (tatsächlich stellt sich heraus, dass es für einen flachen Hintergrund keine Rolle spielt, aber es wäre für einen generischen Ricci-Flat-Hintergrund - hoffentlich verstehen Sie trotzdem den Punkt).

Ist ein Schema richtiger als das andere? Oder ist es nur so, dass man häufiger verwendet wird und als allgemeine Konvention bei der Linearisierung von Dingen angenommen wird? Oder sind die beiden Schemata tatsächlich äquivalent (zu einer festen Reihenfolge), da die Formeln in (2) durch Ersetzen erhalten werden können H M N → H M N + 1 2 H M k H k N in 1)?

Antworten (1)

Im Allgemeinen gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Störungstheorie aufzustellen, je nachdem, was Sie tun möchten.

Wenn Ihr Ziel darin besteht, Einsteins Gleichungen perturbativ zu lösen, besteht ein üblicher Ansatz darin, die Metrik iterativ um eine exakte Lösung zu erweitern (nehmen wir der Einfachheit halber an, es ist Minkowski).

G μ v = η μ v + H μ v ( 1 ) + H μ v ( 2 ) + . . .
Der Grund, warum dies nützlich ist, liegt darin, dass Einsteins Gleichungen für die N Metrische Störung -ter Ordnung wird eine lineare Gleichung sein, die von der Quelle stammt 1 , 2 , . . . N − 1 Ordnungsstörungen (für die zuvor gelöst wurde). (Dieser Fall wurde in Ihrer Frage eigentlich nicht erwähnt).

Zum Beispiel bei einem gegebenen Quellenspannungsenergietensor T μ v , ist die Einstein-Gleichung führender Ordnung

E H μ v ( 1 ) = T μ v
Wo E ist der Lichnerowicz- Operator, oder Sie können sagen E H μ v linearisierter Einstein-Tensor.

Die Gleichung für die metrische Störung zweiter Ordnung lautet dann

E H μ v ( 2 ) = T ( 1 ) [ H ( 1 ) ] μ v
Wo T ( 1 ) [ H ( 1 ) ] μ v ist ein Pseudo-Stress-Energietensor in Abhängigkeit von H ( 1 ) . Da wir bereits die führende Ordnungsgleichung für gelöst haben H ( 1 ) , sollte die obige Gleichung als eine zu lösende lineare Gleichung betrachtet werden H ( 2 ) .

Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, die Störungstheorie aufzustellen. Beispielsweise ist es in der Quantenfeldtheorie üblicher, die metrische Störung als zu definieren

G μ v = η μ v + H μ v
ohne weitere Aufspaltung H μ v in ein Stück erster Ordnung, Stück zweiter Ordnung usw. (dies entspricht Fall 1 in Ihrer Frage). Dann können wir denken H μ v als Feld, und wir können eine QFT-Störungstheorie unter Verwendung einer Lagrange-Funktion mit kubischen und Wechselwirkungen höherer Ordnung durchführen H , die schematisch die Form hat
L ∼ ( ∂ H ) 2 + H ( ∂ H ) 2 + . . .

Es ist viel seltener, obwohl mathematisch möglich, einen Ausdruck für den metrischen Tensor zu schreiben, der in der metrischen Störung tatsächlich nichtlinear ist (dies ist der Fall 2 in Ihrer Frage). Dies erhöht tendenziell die Komplexität, da Sie nun eine nichtlineare Gleichung eingeführt haben, die gelöst werden muss, um die metrische Störung zu definieren. Es gibt jedoch Fälle, in denen dies sinnvoll sein kann. Man kann zum Beispiel mit einem Vielbein arbeiten e μ A , die sich auf die Metrik via bezieht

G μ v = η A B e μ A e v B
Wenn das Vielbein ein natürliches zu verwendendes Feld ist (z. B. wenn Sie Fermionen an die Schwerkraft koppeln), kann es ein nützlicher Schritt sein, das Vielbein zu stören
e μ A = δ μ A + 1 2 H μ A
Dies führt zu einem nichtlinearen Ausdruck für die metrische Störung
G μ v = η μ v + H μ v + 1 4 η A B H μ A H v B

Vielen Dank für Ihre aufschlussreiche Antwort. Ich arbeite zwar im Vielbein-Ansatz, aber es stellt sich das gleiche Problem: Ist einer zu schreiben e ~ A M = e A M + H A B e B M + 1 2 H A B H B C e C M oder e ~ A M = e A M + H A B e B M ? Von Ihrer Antwort hängt es von Ihrer Absicht ab. Aber wenn ich mit jemandem vergleichen möchte, der nach dem metrischen Ansatz arbeitet, dann ist es wahrscheinlich unser Ansatz H A B Felder sind nicht dasselbe. Wir müssten also Störungsschemata vergleichen und uns auf eine Karte zwischen den beiden einigen.
Ich habe jedoch eine Frage zu (zum Beispiel) Weyl-Transformationen: Angenommen, wir haben zwei konform verwandte Metriken, G ~ M N = e − 2 σ G M N . Wir erwägen G M N eine Hintergrund-Raumzeit zu sein, mit der wir eine perturbative Expansion durchführen wollen. In Schema (1) der Frage hätten wir
G ~ M N = G M N + H M N   , H M N := ( e − 2 σ − 1 ) G M N   .
In Schema (2) haben wir
G ~ M N = G M N + H M N + 1 2 H M P H P N   , H M N := − 2 σ G M N   .
In welchem ​​Sinne ist die H M N von Schema (1) als Störung Δ
@NormalsNotFar Ja, Sie müssen die Karte zwischen den beiden Variablensätzen in höherer Ordnung ausarbeiten. Ich würde empfehlen, Ihre Frage zur Weyl-Transformation als zweite Frage zu stellen, da es sich um eine gute Frage handelt und Kommentare nicht für längere Diskussionen geeignet sind. Die Kurzversion ist, dass Sie einen beliebigen Weg wählen können, um eine perturbative Erweiterung einzurichten, die bequem ist.
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