Perturbative Erweiterung der Metrik und ihrer Umkehrung

Eine besonders effektive und schnelle Möglichkeit, dies zu schreiben, besteht darin, die Metrik als zu schreiben$g=\eta+\kappa h$, so dass

$$g^{-1}=(\eta+\kappa h)^{-1}=\eta^{-1}(\textbf{1}+\kappa h\eta^{-1})^{-1}$$

Dann verwenden wir einfach die Erweiterung

$$(\textbf{1}+\epsilon\textbf{A})^{-1}=\textbf{1}-\epsilon\textbf{A}+\epsilon^2\textbf{A}^2+\cdots,$$

was für Matrizen genauso gilt wie für Zahlen. Das gewünschte Ergebnis wird sofort gefunden, ebenso wie Terme höherer Ordnung.

Dies ist eine relativ alte Frage, auf die eine formal vollständige Antwort fehlt. Da ich feststelle, dass ich die Umkehrung einer Metrik benötige und nicht in der Lage bin, anderswo eine angemessene Behandlung zu finden (beim gelegentlichen Surfen), habe ich mich entschieden, hier eine angemessene formale Behandlung vorzunehmen.

Nach der hier gegebenen Behandlung kann man (super-)leicht die inverse Metrik für alle Ordnungen der Störungstheorie ableiten, ohne Ad-hoc-Beziehungen zu verwenden. Ich habe das Folgende in drei Schritten arrangiert.

Schritt - 1: Richtige Problemstellung

Die Metrik, deren Inverse wir bestimmen wollen, muss formaler geschrieben werden:

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + \epsilon \ ^{(1)}h_{\mu\nu} + \frac{\epsilon^2}{2!} \ ^{(2)}h_{\mu\nu} + \cdots$$ Zur späteren Bequemlichkeit verschieben wir alle Störungen hinein $H_{\mu\nu}$: $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + H_{\mu\nu}$$

Diese Art, das Problem anzugeben, unterscheidet sich wesentlich von der von OP in der Frage angegebenen. Ich hoffe, die Notation bedarf keiner Erklärung.

Schritt-2: Und das Gegenteil ist

Schreiben wir die Umkehrung wie folgt: b

$$g^{\mu\nu} = (g_{\mu\nu})^{-1}$$ $$= \eta^{\mu \alpha} \ (\delta{^\alpha_\nu} + \eta^{\alpha\beta}H_{\beta\nu})^{-1}$$

Wir stellen zunächst fest, dass wir die Hintergrundmetrik innerhalb der Klammern zusammenziehen können:$H{^\alpha_\nu} = \eta^{\alpha\beta}H_{\beta\nu}$. Um mit den Klammern fertig zu werden, verwenden wir, wie von Bob in einer anderen Antwort vorgeschlagen, die Binomialerweiterung:

$$(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 -x^3 +\cdots$$

Und nach ein paar Schritten Index-Gymnastik erreichen wir:

$$g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - H^{\mu\nu} + H^{\mu\rho}H{_\rho^\nu} - H^{\mu\rho}H{_\rho^\beta}H{_\beta^\nu} + \cdots$$

Sind wir fertig?

Schritt-3: Der Erweiterungsparameter

Die Schönheit dieser Anordnung liegt in folgender Erkenntnis:

$$H^{\mu\nu} \xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^1, \epsilon^2, \epsilon^3 \cdots$$ $$H^{\mu\rho}H{_\rho^\nu} \xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^2, \epsilon^3, \epsilon^4 \cdots$$ $$H^{\mu\rho}H{_\rho^\beta}H{_\beta^\nu}\xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^3, \epsilon^4, \epsilon^5 \cdots$$

Um also zu einem nützlichen Ausdruck der Umkehrung zu gelangen, müssen wir die Umkehrung in Potenzen von anordnen$\epsilon$.

Nach ein wenig Arbeit erhalten wir bei Bestellung folgende Konditionen$\epsilon^n$:

(Beachten Sie, dass das Gesamtzeichen aus der letzten Gleichung in Schritt 2 stammt.)

1. $n=0$ $$\frac{1}{0!}(\eta^{\mu \nu}$$
2. $n=1$ $$\frac{1}{1!}(- h^{1\mu \nu})$$
3. $n=2$ $$\frac{1}{2!}(2 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{1\mu a} - h^{2\mu \nu})$$
4. $n=3$ $$\frac{1}{3!}( -6 h^{1}{}_{a}{}^{b} h^{1}{}_{b}{}^{\nu} h^{1\mu a} + 3 h^{1\mu a} h^{2}{}_{a}{}^{\nu} + 3 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{2\mu a} - h^{3\mu \nu})$$

Wie bei sorgfältiger Befolgung der obigen Behandlung offensichtlich sein sollte, sieht die endgültige Antwort genau so aus:

$$g^{\mu\nu} = \eta^{\mu \nu} - \epsilon h^{1\mu \nu} + \tfrac{1}{2} \epsilon^2 (2 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{1\mu a} - h^{2\mu \nu}) + \tfrac{1}{6} \epsilon^3 (-6 h^{1}{}_{a}{}^{b} h^{1}{}_{b}{}^{\nu} h^{1\mu a} + 3 h^{1\mu c} h^{2}{}_{c}{}^{\nu} + 3 h^{1}{}_{d}{}^{\nu} h^{2\mu d} - h^{3\mu \nu})$$

Zum Beispiel benötigt man in der Gravitationswellentheorie zur Konstruktion des Pseudo-Energie-Impulstensors a la Issacson-Tensor tatsächlich einen gestörten generischen Hintergrund zweiter Ordnung. Also lass es sein$g_{ab}(\lambda)$one.parameter Familie in der Weise, dass

$$g_{ab}(\lambda)=\tilde{g}_{ab}+\lambda h^{1}_{ab}+\frac{\lambda^2}{2!} h^2_{ab}$$ dann wird eindeutig die Umkehrung durch gegeben $$g^{ab}\equiv(g_{ab}(\lambda))^{-1}$$ also erstmal reinbestellen$\lambda$Dann müssen wir die erste Ableitung in Bezug auf den Parameter durchführen $$\frac{d}{d\lambda}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0}=-\tilde{g}^{ac}\tilde{g}^{bd}h^1_{cd}=-h^{ab}$$ in gleicher Weise für die zweite Bestellung in$\lambda$Du brauchst die zweite Ableitung $$\frac{d^2}{d\lambda^2}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0}=-\left(\frac{d}{d\lambda}(g_{ab}(\lambda))^{-2}\frac{d}{d\lambda}g_{ab}(\lambda)+(g_{ab})^{-2}\frac{d^2}{d\lambda^2}g_{ab}(\lambda)\right)\lvert_{\lambda=0}$$ Wo $$\frac{d^2}{d\lambda^2}g_{ab}(\lambda) = \frac{d}{d \lambda} (h^{1}_{ab} + 2 \cdot \frac{1}{2!} \lambda h^2_{ab}) = h^2_{ab}.$$ Deshalb $$\frac{d^2}{d\lambda^2}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0} =-\left( -2\tilde{g}^{af}\tilde{g}^{bg}\tilde{g}^{cd}h^1_{fc}h^1_{dg}+\tilde{g}^{ac}\tilde{g}^{bd}h^{2}_{cd} \right)$$ $$=2h^{1ac}h^{1b}_c-h^{2ab}$$

Um also die vollständige inverse Metrik bis zur zweiten Ordnung zu konstruieren, benötigen Sie diese generische Form

$$g^{ab}(\lambda)=g^{ab}(0)+\frac{d}{d\lambda}(g^{ab}(\lambda))\lvert_{\lambda=0}+\frac{1}{2}\frac{d^2}{d\lambda^2}(g^{ab}(\lambda))\lvert_{\lambda=0}$$

Wenn Sie die von uns bereits berechneten Mengen einstecken, erhalten Sie

$$g^{ab}(\lambda)=\tilde{g}^{ab}-\lambda h^{1ab}+\lambda^2(h^{1ac}h^{1b}_c-\frac{1}{2}h^{2ab})$$ Eine Überprüfung, die Sie durchführen sollten, um alles in Ordnung zu halten, ist beispielsweise die Überprüfung der gemeinsamen Delta-Relation mit der Gesamtmetrik

$$g^{ac}(\lambda)g_{cb}(\lambda)=\delta^a_b$$

Für Ihre Minkowski-Hintergrundmetrik:

$$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+\kappa h_{\mu\nu}$$

Wir haben, dass die Störung geschrieben werden kann als:

$$\delta g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}=\kappa h_{\mu\nu}$$

Auch das wissen wir auf Anhieb:

$$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-\kappa h^{\mu\nu}$$

Jetzt wollen wir seine kovariante Form finden, die so aussieht:

$$\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\lambda}\delta g_{\lambda\rho}g^{\rho\nu}$$

Setzen Sie nun einfach diese Gleichung aus unseren anderen Gleichungen ein:

$$=-\left(\eta^{\mu\lambda}-\kappa h^{\mu\lambda}\right)\left(\kappa h_{\lambda\rho}\right)\left(\eta^{\rho\nu}-\kappa h^{\rho\nu}\right)$$

Wenn wir den Term dritter Ordnung wegwerfen, erhalten wir:

$$=-\kappa h^{\mu\nu}+\eta^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda\rho}\kappa h^{\rho\nu}+\kappa h^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda\rho}\eta^{\rho\nu}$$

$$=-\kappa h^{\mu\nu}+\kappa h_{\rho}^{\mu}\kappa h^{\rho\nu}+\kappa h^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda}^{\nu}\eta$$ Da die Metrik symmetrisch sein muss, muss auch die Störung symmetrisch sein, daher können wir schreiben:

$$\delta g^{\mu\nu}=-\kappa h^{\mu\nu}+2\kappa h_{\rho}^{\mu}\kappa h^{\rho\nu}$$

Jetzt habe ich einen Faktor von 2, der sich von Ihrer Referenz unterscheidet, was meiner Meinung nach durch Anwenden der Anforderung für die Gesamtmetrik eliminiert werden kann:

$$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=\delta_{\mu}^{\mu}$$ Aber ich denke, Sie verstehen die Idee, es ist ein Prozess, der mit jeder höheren Ordnung unverschämt an Langweiligkeit gewinnt. Beifall!! (: