Wie erhält man Komponenten des metrischen Tensors?

Abschnitt IV.5.3 Post-Newtonian approximation of Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology, Y. Choquet-Bruhat diskutiert eine Ableitung dieser Metrik. Es scheint von L. Blanchet und T. Damour, 1989, Post-newtonian generation of gravitational waves zu stammen .

Ausgangspunkt sind Einsteins Feldgleichungen (EFE) in harmonischen Koordinaten und deren 1PN-Entwicklung und der Ansatz

$$\begin{align} g_{00}\equiv&-\exp\left(-\frac{2}{c^2} V\right)\\ g_{0i}\equiv&-\frac{4}{c^3}V_i\\ g_{ij}\equiv&\exp\left(+\frac{2}{c^2} V\right)\gamma_{ij} \end{align}$$ Mit dem EFE in harmonischen Koordinaten kann man in 1PN darstellen

$$\gamma_{ij}=\delta_{ij}+O(c^{-4}).$$

Weiterhin findet man lineare Gleichungen dazu$V$Und$V_i$zu den Quellbegriffen:

$$\begin{align} \Delta V -\frac{1}{c^2}\partial_t^2V&=-\frac{4\pi G}{c^2} \left(T^{00}+T^{ss}\right)\\ \Delta V_i&=-\frac{4\pi G}{c}T^{0i}. \end{align}$$

Für Details der beteiligten Berechnung empfehle ich das Buch und die Veröffentlichung, auf die zuvor verwiesen wurde, und die darin enthaltenen Referenzen.

Persönlich würde ich nicht sagen, dass Ihnen etwas „Triviales“ fehlt – vielleicht ist das Ergebnis in gewisser Weise „Standard“, was von Leuten, die sich auf dem Gebiet auskennen, als selbstverständlich angesehen wird.

Die früheste Referenz, die das Ergebnis enthält, scheint Blanchet, Luc und Thibault Damour zu sein . "Post-Newtonsche Generation von Gravitationswellen." Annales de l’IHP Physique théorique. Vol. 50. Nr. 4. 1989 (siehe Gleichungen$2.10a.$-$c.$darin).

Die gesamte Ableitung ist ziemlich kompliziert, aber der Grad der Komplexität hängt davon ab, was Ihr Ausgangspunkt ist.

In der verlinkten Arbeit wird das Ergebnis für das Nahfeld hergeleitet, wobei die post-newtonsche Expansion als gültig angenommen wird (dh$v/c << 1$, und ein schwaches Gravitationsfeld). Dies ermöglicht es ihnen, eine Reihe von Annahmen zu treffen, einschließlich dieser$\partial_0 g_{\mu\nu}^{in}/{\partial_i g_{\mu\nu}^{in}} = O(\frac{1}{c})$, Wo$g_{\mu\nu}^{in}$ist die Metrik in der inneren Domäne, wo diese Nahfelderweiterung verwendet wird.

Beginnen wir mit der Einstein-Gleichung in harmonischen Koordinaten, so lässt sich folgender Satz linearisierter Gleichungen ableiten:

$\Box\ln(-g^{in}_{00}) = \frac{8\pi G}{c^4}(T^{00} + T^{ss}) + O(\frac{1}{c^6})$

$\Box g_{0i}^{in} = \frac{16\pi G}{c^4}T^{0i} + O(\frac{1}{c^5})$

$\Box g_{ij}^{in} = -\frac{8\pi G}{c^4}\delta_{ij}(T^{0i} + T^{ss}) + O(\frac{1}{c^4})$,

Wo$\Box$ist der d'Alembertian (unter Verwendung von most$+$Metrik) und die verschiedenen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors$T$sind von bekannter Ordnung in$c$.

Der Einfachheit halber definieren die Autoren dann

$\sigma = c^{-2}(T^{00} + T^{ss})$Und

$\sigma_i = c^{-1}T^{0i}$.

Dies ist ein cleverer Trick, der es ihnen ermöglicht, die Form der resultierenden Gleichungen zu vereinfachen

Sie definieren dann bestimmte Potentiale (Gl.$2.8$Und$2.9$), woraus sich die gewünschten Ergebnisse ergeben (zusammen mit einigen intuitiven Zwischensprüngen, um die Berechnungen zu rechtfertigen). Diese Potentiale selbst erfüllen gewisse lineare Gleichungen.

Ich hoffe, das hilft, und entschuldige mich für eventuelle Tippfehler. Ich denke, das Beste wäre, das verlinkte Papier zu lesen. Es ist ein bisschen kompliziert, und in gewissem Sinne denke ich, dass das von Ihnen gepostete Ergebnis nur eine mögliche Parametrisierung ist.