Wie findet man 4-Geschwindigkeitskomponenten in einer gestörten Metrik?

Question

Wie findet man 4-Geschwindigkeitskomponenten in einer gestörten Metrik?

Bob

Beginnend mit einer Metrik mit kleinen Störungen

\begin{array}{rcl} G_{00} & = & 1 - 2 \frac{U}{C^{2}} + Ö (C^{- 4}) \\ G_{0 ich} & = & Ö (C^{- 3}) \\ G_{ich J} & = & - δ_{ich J} (1 + 2 \frac{U}{C^{2}} + Ö (C^{- 4})) \end{array}

$\begin{eqnarray} g_{00} &=& 1-2\frac{U}{c^2} + \mathcal{O}(c^{-4}) \\ g_{0i} &=& \mathcal{O}(c^{-3}) \\ g_{ij} &=& -\delta_{ij}\left(1+2\frac{U}{c^2} + \mathcal{O}(c^{-4})\right) \end{eqnarray}$

Ich versuche zu zeigen, dass die Komponenten des 4-Geschwindigkeitsvektors $u^0$ Und $u^i$ kann geschrieben werden als

\begin{array}{rcl} u^{0} & = & 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{C^{2}} + \frac{U}{C^{2}} + Ö (C^{- 4}) \\ u^{ich} & = & \frac{v^{ich}}{C} (1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{C^{2}} + \frac{U}{C^{2}}) + Ö (C^{- 5}) \end{array}

$\begin{eqnarray} u^0 &=& 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{U}{c^2} + \mathcal{O}(c^{-4}) \\ u^i &=& \frac{v^i}{c}\left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{U}{c^2}\right) + \mathcal{O}(c^{-5}) \end{eqnarray}$

Ich möchte explizit die Befugnisse behalten $c$ in der Berechnung, um mehr über verschiedene Größenordnungen der Kleinheit in PPN zu erfahren. Die Methode, die ich zu verwenden versuche, ist zu schreiben $u^\mu u_\mu = u^0 u_0 + u^i u_i = +1$ . Dies kann als neu angeordnet werden

\begin{array}{rcl} u^{0} u^{0} G_{00} & = & 1 - u^{ich} u^{J} G_{ich J} - 2 u^{0} u^{ich} G_{0 ich} \\ {(u^{0})}^{2} [1 - 2 \frac{U}{C^{2}}] & = & 1 + {(\frac{D X^{ich}}{D S})}^{2} [1 + 2 \frac{U}{C^{2}}] \end{array}

$\begin{eqnarray} u^0 u^0 g_{00} &=& 1 - u^i u^j g_{ij} - 2u^0 u^i g_{0i} \\ \left(u^0\right)^2 \left[ 1-2\frac{U}{c^2}\right] &=& 1 + \left(\frac{dx^i}{ds}\right)^2\left[ 1+2\frac{U}{c^2} \right] \end{eqnarray}$ Ich habe die fallen gelassen

g_{0 i}

$g_{0i}$ Begriff, weil es ist

O (c^{- 3})

$\mathcal{O}(c^{-3})$ . Ich habe das gefunden, wenn ich schreibe

\frac{d x^{i}}{d s} = \frac{1}{c} \frac{d x^{i}}{d t} \frac{d t}{d s} = \frac{v}{c}

$\frac{dx^i}{ds} = \frac{1}{c}\frac{dx^i}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{v}{c}$ , lösen Sie die obige Gleichung für

u^{0} = \sqrt{\frac{. . .}{. . .}}

$u^0 = \sqrt\frac{...}{...}$ , und dann taylor expand über die kleinen Begriffe

{(\frac{v}{c})}^{2}

$\left(\frac{v}{c}\right)^2$ Und

\frac{U}{c^{2}}

$\frac{U}{c^2}$ , bekomme ich die richtige Form von

u^{0}

$u^0$ .

Meine Fragen sind:

Ist dies der beste Lösungsansatz? $u^0$ Und $u^i$ , oder gibt es eine bessere/empfohlenere Methode?
Ich verstehe nicht, ob oder warum es richtig ist, zu schreiben $\left(\frac{dx^i}{ds}\right)^2 = \left(\frac{v}{c}\right)^2$ . Der Begriff $\frac{dx^i}{ds}$ sollte keine Einheiten haben (wie $\frac{v}{c}$ ), aber wenn ich die Kettenregel zum Erweitern verwende $\frac{dx^i}{ds}$ , sollte im Zähler oben nicht auch ein Faktor c neben dt stehen? Könnte es etwas damit zu tun haben, dass man sich ds als Eigenzeit vorstellt und dann schreibt $dt\approx ds$ für sich langsam bewegende Objekte?
Außerdem habe ich gelesen, dass metrische Komponenten von $g_{0i}$ wird seltsame Kräfte haben $c^{-1}$ , während metrische Komponenten von $g_{00}$ Und $g_{ij}$ wird sogar Befugnisse haben $c^{-1}$ , habe aber nie eine Rechtfertigung für diese Behauptung gesehen.
Letztendlich ist es mein Ziel, den PPN-Formalismus zu verstehen. Gibt es Lehrbücher oder Artikel, in denen der Autor eine gestörte Metrik erweitert und dabei Faktoren beibehält? $c^{-1}$ explizit in der Berechnung, um unterschiedliche Ordnungen der kleinen Terme anzuzeigen (z. B. setzt nicht $c=1$ )? Bisher ist der Bericht, den ich unten verlinkt habe, das einzige Papier, das ich je gesehen habe, das nicht in Einheiten funktioniert, in denen $c=1$ .

Meine Frage ist, wie ich zu Gl. (15) in diesem Link (der Link lädt automatisch ein PDF des Papiers herunter).

Wenn Sie nicht auf einen Link klicken möchten, der automatisch ein Paper herunterlädt, lautet der Titel des Papers "The post-Newtonian formalism" von Rene Michelsen.

Rumpelstillhaut

Ist es hilfreich, die vier Geschwindigkeiten auszudrücken als

u^{β} = g^{β α} u_{α}

$u^\beta = g^{\beta \alpha} u_{\alpha}$ ?

Bob

Ich habe diese Beziehung verwendet, um alle 4-Geschwindigkeiten kontravariant zu machen (z. B. haben sie alle obere Indizes). Ich habe noch nicht versucht, 4-Geschwindigkeiten kovariant zu machen (mit niedrigeren Indizes), was ich als nächstes versuchen könnte, aber es ist mir nicht klar, ob das helfen wird oder nicht. Etwas verwandt, hat diese Methode noch nicht funktioniert

u^{i}

$u^i$ , da Taylor einen Begriff erweitert

\propto \sqrt{\frac{v}{c}}

$\propto\sqrt\frac{v}{c}$ gibt Unendlichkeit in der niedrigsten (nicht null) Ordnung.

QMechaniker

Sept. 2021: Link ist jetzt tot.

Antworten (1)

Wie findet man 4-Geschwindigkeitskomponenten in einer gestörten Metrik?

Ist es hilfreich, die vier Geschwindigkeiten auszudrücken als $u^\beta = g^{\beta \alpha} u_{\alpha}$ ?
Ich habe diese Beziehung verwendet, um alle 4-Geschwindigkeiten kontravariant zu machen (z. B. haben sie alle obere Indizes). Ich habe noch nicht versucht, 4-Geschwindigkeiten kovariant zu machen (mit niedrigeren Indizes), was ich als nächstes versuchen könnte, aber es ist mir nicht klar, ob das helfen wird oder nicht. Etwas verwandt, hat diese Methode noch nicht funktioniert $u^i$ , da Taylor einen Begriff erweitert $\propto\sqrt\frac{v}{c}$ gibt Unendlichkeit in der niedrigsten (nicht null) Ordnung.

Rumpelstillhaut · Answer 1

Drücken Sie vier Geschwindigkeiten aus $u^\alpha$ und Geschwindigkeiten koordinieren $v^i$ entsprechend

u^{a} = \frac{D X^{a}}{D τ}, v^{ich} = \frac{D X^{ich}}{D T},

$u^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\tau}, \quad v^i = \frac{dx^i}{dt},$

wobei Eigenzeit und Koordinatenzeit durch gegeben sind $\tau$ Und $t$ bzw. Im Folgenden, Latein ( $i,j = 1,2,3$ ) und Griechisch ( $\alpha,\beta = 0,1,2,3$ )-Indizes berücksichtigen räumliche bzw. raumzeitliche Variablen.

Ich werde Ihre Frage beantworten $(1)$ in Bezug auf willkürliche metrische Tensorkomponenten, wo ich das Verfahren skizziere, das Sie befolgen müssen, um die gewünschten Ergebnisse zu erhalten.

Ein zeitartiges Teilchen gehorcht der durch gegebenen Normierungsbedingung

\begin{matrix} (1) & G_{a β} u^{a} u^{β} = - C^{2}, \end{matrix}

$g_{\alpha \beta} u^\alpha u^\beta = -c^2, \tag{1} \label{eqn1}$

Wo $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit. Gl. ( $\ref{eqn1}$ ) wird explizit durch gegeben

\begin{matrix} (2) & {(u^{0})}^{2} (G_{00} + 2 G_{0 ich} \frac{u^{ich}}{u^{0}} + G_{ich J} \frac{u^{ich}}{u^{0}} \frac{u^{J}}{u^{0}}) = - C^{2} . \end{matrix}

$\left( u^0 \right)^2 \left( g_{00} + 2 g_{0i} \frac{u^i}{u^0} + g_{ij} \frac{u^i}{u^0} \frac{u^j}{u^0} \right) = -c^2. \tag{2} \label{eqn2}$

Jetzt wissen wir $x^0 = ct$ . Somit $d x^0 = cdt.$ Damit können wir ausdrücken $u^i/u^0$ wie die folgenden

\begin{matrix} (3) & \frac{u^{ich}}{u^{0}} = \frac{D X^{ich}}{D τ} {(\frac{D X^{0}}{D τ})}^{- 1} = \frac{D X^{ich}}{D T} \frac{D T}{D τ} {(\frac{D X^{0}}{D T} \frac{D T}{D τ})}^{- 1} = \frac{v^{ich}}{C} . \end{matrix}

$\frac{u^i}{u^0} = \frac{dx^i}{d\tau} \left(\frac{d x^0}{d\tau} \right)^{-1} = \frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} \left( \frac{dx^0}{dt} \frac{dt}{d\tau} \right)^{-1} = \frac{v^i}{c}. \tag{3} \label{eqn3}$

( Hinweis: Ich hoffe, das behebt Ihre Verwirrung bezüglich der Frage $2$ . ) Zurück zu Gl. ( $\ref{eqn2}$ ) wir haben

u^{0} = C {[- G_{00} - 2 G_{0 ich} (\frac{v^{ich}}{C}) - G_{ich J} (\frac{v^{ich}}{C}) (\frac{v^{J}}{C})]}^{- 1 / 2} .

$u^0 = c \left[ - g_{00} - 2g_{0i} \left( \frac{v^i}{c} \right) - g_{ij} \left(\frac{v^i}{c}\right) \left( \frac{v^j}{c} \right) \right]^{-1/2}.$

Das Ersetzen der entsprechenden metrischen Tensorkomponenten und Erweitern der Quadratwurzel auf die PN-Ordnung ergibt das Gewünschte $u^0$ . Beratung Gl. ( $\ref{eqn3}$ ) gibt nämlich den passenden Ausdruck für den räumlichen Teil der Vierergeschwindigkeit

u^{ich} = \frac{v^{ich}}{C} u^{0} .

$u^i = \frac{v^i}{c} u^0.$

Also um deine Frage zu beantworten $(1)$ , würde ich die Normalisierungsbedingung konsultieren, um die Komponenten von leicht zu erhalten $u^\alpha$ . Wenn Sie der oben beschriebenen Methode folgen, erhalten Sie die Ausdrücke, für die Sie zitiert haben $u^0$ Und $u^i$ .

Ich sollte anmerken, dass es einen großen Unterschied zwischen dem Post-Newtonschen und dem parametrisierten Post-Newtonschen Formalismus gibt, mit dem ich Ihnen raten würde, sich damit vertraut zu machen. Ich nehme an, Sie meinen, Sie möchten den PN-Formalismus in Ihrer Frage verstehen $(4)$ . Arbeiten von Chandrasekhar zum PN-Formalismus behalten im Allgemeinen den Faktor von bei $1/c$ zur Bequemlichkeit. Allerdings sollten Sie wissen, dass es hier lediglich darum geht, die passenden Maße richtig zu ermitteln und wieder einzubauen. Dies zu tun, ist auf lange Sicht vorteilhafter.

Danke für die Antwort. Zu Frage (4) meine ich, ich möchte mit dem PPN-Formalismus arbeiten. Ich habe eine Bewegungsgleichung, die sich in niedrigster Ordnung auf das spurfreie EFE reduziert und ein Skalarfeld hat, möchte aber wissen, ob dies in PPN-Parametern in erster Ordnung ausgeschlossen ist.
Sollte Ihr Gl. (1) gelesen $g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu = +1$ da (i) die Raumzeitmetriksignatur (+,-,-,-) ist und (ii) wir die 4-Geschwindigkeiten normalisieren?
@Bob Wenn Sie sich mit dem PPN-Formalismus befassen, sollten keine Parameter vorhanden sein $\alpha,\beta$ in Ihren metrischen Komponenten? Ich betone noch einmal, dass die PN- und PPN-Formalismen unterschiedliche Tiere sind.
@Bob das Zeichen ändert sich entsprechend Ihrer Unterschrift. Ich dachte jedoch, Sie wollten es behalten $c$ ausdrücklich?

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