Berechnung der Beschleunigung aus Wegmessungen

Die Regel Nummer 1 bei der Analyse experimenteller Daten lautet:

1. Zeichne ein Diagramm

Und die Regel Nummer 2 ist

2. Zeichnen Sie, wenn möglich, eine gerade Linie

Lassen Sie uns Regel 1 befolgen und Ihre Daten grafisch darstellen. Wir bekommen:

OK, es sieht wie erwartet aus wie ein Quadrat. Da es sich jedoch nicht um eine gerade Linie handelt, ist es schwer zu erkennen, ob es sich um eine quadratische handelt oder nicht. Um ein gerades Liniendiagramm zu erhalten, müssen wir mit den Daten herumspielen. Wir erwarten, dass die Entfernung:Zeit-Gleichung lautet:

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Angenommen, wir nehmen an$u=0$, dann vereinfacht sich dies zu:

$$s = \tfrac{1}{2}at^2$$

Also, wenn wir grafisch darstellen$s$gegen$t^2$Wir sollten eine gerade Linie mit einer Steigung von erhalten$\tfrac{1}{2}a$. Nun, lass uns das tun. Das Ergebnis ist:

Die roten Punkte sind Ihre Daten, und die blaue Linie ist eine gerade Linie, die ich gezeichnet habe, um den Punkten das zu geben, was ich für die beste Faust halte. Und, nun, die blaue gerade Linie sieht ziemlich gut aus. Die Steigung der Geraden ist$0.158$m/Sek$^2$, und das ist$\tfrac{1}{2}a$also bekommen wir:

$$a = 0.316 \,\text{m/sec}^2$$

Aber passt das wirklich am besten? Ist$u$wirklich null? Nun, wir können unsere Gleichung nehmen:

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Eine Division durch durch$t$zu bekommen:

$$\frac{s}{t} = u + \tfrac{1}{2}at$$

Dies sagt uns, dass, wenn wir grafisch darstellen$s/t$gegen$t$Wir sollten eine gerade Linie mit einer Steigung von erhalten$\tfrac{1}{2}$und ein$y$abfangen von$u$. Okay, versuchen wir es. Wir bekommen diesmal nur drei Punkte, weil der erste Punkt gibt$s/t = 0/0$, was wir nicht können. Wie auch immer, mit drei Punkten sieht der Graph so aus:

Auch hier sind die roten Punkte Ihre Daten und die blaue gerade Linie ist meine Passform. Obwohl es eine lange Extrapolation zurück zu dem ist$y$Achse sieht es für mich so aus$u$ist definitiv nicht null. In der Tat, wenn ich die Steigung und den Schnittpunkt meiner geraden Linie messe, bekomme ich:

$$\begin{align} a &= 0.291 \,\text{m/sec}^2 \\ u &= 0.30 \,\text{m/sec} \end{align}$$

Kehren wir schließlich zu Ihrem ursprünglichen Diagramm zurück und zeigen Sie Ihre Daten zusammen mit der Kurve, die wir erhalten, wenn wir die Werte von verwenden$a$Und$u$über. Der Graph sieht jetzt so aus:|

Ich würde sagen, das war eine ziemlich gute Passform!

Angenommen, die Geschwindigkeit ist$u(t_1)=0$in Startposition$s(t_1)=0$, dann ist die Formel, die Sie verwendet haben, für den ersten Punkt wahr. Da Sie nicht wissen, ob die Beschleunigung in Ihrem Problem konstant ist, müssen Sie für jede andere Berechnung die Startgeschwindigkeit aus vorherigen Punkten berechnen. Beispiel:

Ab 1$\rightarrow$2 :

Nehme an, dass$\Delta t_{12}$klein genug ist, damit die Beschleunigung während dieser Zeit nahezu konstant ist:

$$s(t_2)=s(t_1)+u(t_1)t_2+\frac{1}{2}at_2^2\implies26.4=0+0\times12.48+\frac{1}{2}a(12.48)^2\implies a=0.339\>\text{m/s$^2$}$$ Geschwindigkeit ist also bei Punkt 2 $$u(t_2)=a\Delta t_{12}+u(t_1)\implies u(12.48)=0.339\times 12.48+0=4.231\>\text{m/s}$$ Ab 2$\rightarrow$3 :

Nehme an, dass$\Delta t_{23}$klein genug ist, damit die Beschleunigung während dieser Zeit nahezu konstant ist:

$$s(t_3)=s(t_2)+u(t_2)\Delta t_{23}+\frac{1}{2}a\Delta t_{23}^2\\\implies52.8=26.4+4.231\times(18.06-12.48)+\frac{1}{2}a(18.06-12.48)^2\\\implies a=0.179\>\text{m/s$^2$}$$ Und so weiter und so fort. Beachten Sie hier, wie ich Formeln verwendet habe, die sich auf konstante Beschleunigung beziehen. Denken Sie also daran, dass diese Antworten nur Annäherungen sind.

BEARBEITEN :

Nach Überprüfung, davon ausgegangen$u(t_1)=0$ist falsch. Tatsächlich ist es viel bequemer anzunehmen, dass a = konstant ist. Dann können Sie die Daten anpassen und das finden

$$s(t)=0.146t^2+0.293t,$$ was ein ergibt $\pm0.05$Fehler bei max auf den vier Punkten.

Schauen Sie sich die vollständige Gleichung für die Verschiebung als Funktion der Zeit an:

$$s(t) = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$

Hier,$s(t)$ist die Position zu einer Funktion der Zeit,$s_0$ist die Position bei$t = 0$,$v_0$ist die Geschwindigkeit bei$t = 0$, Und$a$ist die (konstante) Beschleunigung. In Ihrem speziellen Fall$s_0 = 0\,m$,$v_0 = 0\,\frac{m}{s}$.

Ihre Daten bestehen aus Zeiten und Positionen, die zu diesen Zeiten gemessen wurden . Ihre Ausgangsposition und Geschwindigkeit bei$t = 0$ist während der gesamten Bewegung Null . Folglich (in dieser speziellen Übung) bleibt Ihnen nur noch:

$$s(t) = \frac{1}{2}at^2$$

EDIT: Ich bin davon ausgegangen, dass das Objekt in Bewegung von der Ruhe ausgeht. Dies wurde nicht ausdrücklich gesagt. Wenn Sie die Anfangsgeschwindigkeit kennen, würden Sie diese für verwenden$v_0$.