Was ist die physikalische Bedeutung von |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}} wobei f(t) f(t)f(t) ist die Position als Funktion der Zeit?

Hier ist das vollständige Problem:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich konnte den angegebenen Ausdruck beweisen; aber der Interpretationsteil bereitet mir ein bisschen Mühe. Hier meine Deutung:

Die durchschnittliche Beschleunigung in ( A , B ) , ist gegeben durch: F ( B ) − F ( A ) ( B − A ) 2

Nach der Definition des Durchschnitts muss es also einige geben ξ In ( A , B ) ST

| F ″ ( ξ ) | ≤ F ( B ) − F ( A ) ( B − A ) 2 ≤ 4 ( F ( B ) − F ( A ) ) ( B − A ) 2

vorausgesetzt F ( B ) ≥ F ( A )

Ich werfe diese 4 jedoch nur willkürlich in den Zähler und kann sie keiner physikalischen Interpretation zuordnen. Vielleicht muss ich die Tatsache nutzen, dass F ' ( A ) = F ' ( B ) = 0 ?

Jeder Einblick wäre willkommen!

Welche Themen haben Sie in letzter Zeit studiert? Wenn Sie einige Hintergrundinformationen zu Ihrem Wissen geben, ist es möglicherweise einfacher, Ihnen bei der Suche nach einer Antwort zu helfen.
Neugierig. Erstens ist die durchschnittliche Beschleunigung F ' ( B ) − F ' ( A ) B − A = 0 .Weil F ' ( B ) = F ' ( A ) , Dann vorausgesetzt F ″ ( X ) kontinuierlich, für alle ϵ > 0 , gibt es einen Punkt ξ In ( A , B ) , so dass | F ″ ( ξ ) | < ϵ (wenn es nicht der Fall war, nehmen Sie zum Beispiel F ″ ( A ) > ϵ , durch Kontinuität haben wir F ″ ( X ) > ϵ für alle X , also können wir nicht haben F ' ( B ) = F ' ( A ) ). Also die Grenze 4 ( F ( B ) − F ( A ) ) ( B − A ) 2 , vorausgesetzt F ( B ) > F ( A ) , ist ein besonderer Fall für ϵ (und für F ( A ) > F ( B ) , Die gleichung | F ″ ( ξ ) | < 4 ( F ( B ) − F ( A ) ) ( B − A ) 2 ist falsch)

Antworten (2)

I) Beachten Sie die ursprüngliche Ungleichung von OP

| F ″ ( ξ ) |   ≤   4 F ( B ) − F ( A ) ( B − A ) 2
offensichtlich verletzt wird
0   ≤   | F ″ ( ξ ) |   ≤   4 F ( B ) − F ( A ) ( B − A ) 2   <   0
überall wenn F ( B ) < F ( A ) , wie von Trimok in einem Kommentar erwähnt. Wir gehen von nun an davon aus, dass auf der rechten Seite ein absoluter Wert stehen sollte. der ursprünglichen Ungleichung von OP.

II) Wie Trimok in demselben Kommentar gezeigt hat und wie Frederic Brünner in seiner Antwort gezeigt hat, gibt es einen Augenblick ξ ∈ ] A , B [ wo die momentane Beschleunigung

F ″ ( ξ )   =   F ' ( B ) − F ' ( A ) B − A   =   0
gleich der mittleren Beschleunigung ist, nämlich Null, vgl. Satz von Rolle . Dieses Ergebnis ist sogar noch stärker als die (korrigierte) Ungleichung von OP.

III) In dieser Antwort möchten wir eine entgegengesetzte Ungleichung (4) beweisen:

  1. Es muss einen Augenblick geben C ∈ ] A , B [ wo die momentane Geschwindigkeit

    (1) F ' ( C )   =   F ( B ) − F ( A ) B − A
    und die Durchschnittsgeschwindigkeit ist dieselbe, vgl. der Mittelwertsatz .

  2. Aus Symmetriegründen können wir annehmen, dass der Augenblick C ≤ A + B 2 ist kleiner als die durchschnittliche Zeit, so dass

    (2) C − A   ≤   B − A 2 .
    (Der andere Fall C ≥ A + B 2 kann in ähnlicher Weise unter Verwendung der Ungleichung behandelt werden B − C ≤ B − A 2 stattdessen.)

  3. Auch hier existiert ein Augenblick ξ ∈ ] A , C [ wo die momentane Beschleunigung

    (3) F ″ ( ξ )   =   F ' ( C ) − F ' ( A ) C − A   = ( 1 )   F ( B ) − F ( A ) ( C − A ) ( B − A )
    gleich der durchschnittlichen Beschleunigung ist. (Im anderen Fall betrachten Sie stattdessen das Intervall ]c,b[.)

Gl. (2) und (3) zusammen finden wir eine Ungleichung (4):

(4) ∃ ξ ∈ ] A , B [ :     | F ″ ( ξ ) |   ≥   2 | F ( B ) − F ( A ) | ( B − A ) 2 .

Da muss man sich sicher sein F ( B ) > F ( A )
@Trimok: Ja, du hast Recht. Guter Punkt. Die ursprüngliche Ungleichung von OP 0 ≤ | F ″ ( ξ ) | ≤ 4 ( F ( B ) − F ( A ) ) ( B − A ) 2 < 0 überall offensichtlich verletzt wird, wenn F ( B ) < F ( A ) .

Die Bedingung F ' ( A ) = F ' ( B ) = 0 , was bedeutet, dass die Geschwindigkeit sowohl am Anfang als auch am Ende des Zeitintervalls verschwindet, sagt uns, dass das Teilchen zu diesen Zeitpunkten in Ruhe ist. Folglich muss es sowohl Beschleunigung als auch Verzögerung geben, während sich das Teilchen bewegt. Mit anderen Worten, die Beschleunigung muss sowohl positiv als auch negativ sein. Da unsere Funktion zweimal differenzierbar ist, gehen wir davon aus, dass es keine Beschleunigungssprünge gibt, dh sie muss sich fließend zwischen positiven und negativen Werten bewegen und muss daher irgendwann Null sein ( ξ ). Da die mittlere Beschleunigung auf der rechten Seite der Ungleichung aufgrund der Anfangs- und Endbedingungen an der Geschwindigkeit verschwindet, wird die Ungleichung zu einer Gleichheit ( 0 = 0 ).

Fazit: Wenn ein Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit (in unserem Fall null) beginnt und mit derselben (ebenfalls null) endet, muss seine Beschleunigung während des Zwischenzeitintervalls sowohl positiv als auch negativ sein.

Was ist die physikalische Bedeutung von |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}} wobei f(t) f(t)f(t) ist die Position als Funktion der Zeit?
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