Wie berechne ich die Momentangeschwindigkeit eines Objekts auf einer Kurve? [geschlossen]

$$\Delta E=W_{nc}$$

An jedem Punkt der Kurve unter Berücksichtigung einer infinitesimalen Verschiebung$dx$auf der x-Achse (rechtes kartesisches xy-Koordinatensystem) aus der Infinitesimalrechnung haben wir:

$$dy=f'(x)dx\ ,\ ds=\sqrt{1+f'(x)^2}dx$$

Wo$ds$ist die infinitesimale Verschiebung der Kurve.

Die Arbeit, die durch Reibung (die einzige nicht-konservative Kraft hier) während der Verschiebung geleistet wird$ds$Ist:

$$W_{nc}=-\mu ds$$

Wo$\mu$ist der Reibungskoeffizient zwischen der Kugel und der Oberfläche der Kurve.

Die Änderung der mechanischen Energie ist dann:

$$\Delta E=\frac12 m((v+dv)^2-v^2)-mgdh$$

Wo$m$ist die Masse der Kugel und$dh$ist die infinitesimale (positive) Höhenänderung. Wenn wir annehmen:

$$\forall x;f'(x)\lt0$$

Damit der Ball niemals aus der Kurve springt, können wir sagen:

$$dh=-dy=-f'(x)dx$$

Dann bekommen wir:

$$\Delta E=\frac12 md(v^2)+mgf'(x)dx=-\mu \sqrt{1+f'(x)^2}dx=W_{nc}$$

$$d(v^2)=-2\left(\frac{\mu}{m} \sqrt{1+f'(x)^2}+gf'(x)\right)dx$$

---

$$v(x)=\sqrt{-2\int_{x \text{ of start point}}^{x \text{ of end point}}\left(\frac{\mu}{m} \sqrt{1+f'(x)^2}+gf'(x)\right)dx}$$

Das Obige ist ein expliziter Ausdruck von$v(x)$.

In Ihrem Fall,$f(x)=e^{-ax}$, also Plug-In-Parameter. Und geben Sie den obigen Ausdruck an Computer (z. B. Mathematica), um ihn numerisch für Sie zu lösen.

Erledigt.

Sie wollen dieses Problem definitiv nicht mit der Lagrange- oder Hamilton-Mechanik lösen. Da Sie den Haftreibungskoeffizienten kennen, können Sie nach den Beschleunigungen in x- und y-Richtung usw. auflösen.

Wichtig ist hier die Geometrie des Problems. Uns interessiert die Richtung tangential zur Kurve$y = e^{-ax}$, und die Richtung senkrecht dazu. Die Richtung tangential zur Kurve am Punkt$x$hat die Steigung$f'(x)$, Wo$f'(x)$ist die Ableitung von$f(x)$gegenüber$x$. Die Richtung senkrecht zur Kurve am Punkt$x$hat die Steigung$-1/f'(x)$. Nun fahren wir mit Newtons 2. Gesetz fort:

$$F_x = N\sin \theta - f_k \cos \theta,$$ $$F_y = -mg+N\cos \theta + f_k \sin \theta,$$ Wo $f_k$ist die Kraft der kinetischen Reibung (gegeben durch $N\mu_k$), Und $N$ist die Normalkraft. Wir können sofort nach der Normalkraft auflösen, indem wir die Kräfte entlang der Richtung senkrecht zur Kurve summieren, um dies zu finden $N = mg\cos \theta$. Jetzt muss nur noch was gefunden werden $\theta$Ist. Ich habe definiert $\theta$oben als Winkel zwischen der Schwerkraft und der Richtung antiparallel zur Richtung der Normalkraft. Sobald Sie ein bisschen mehr Geometrie machen, werden Sie in der Lage sein, Ausdrücke für zu finden $\sin \theta$Und $\cos \theta$in Bezug auf x. Wenn Sie nun diese Ausdrücke in Ihre Gleichungen des 2. Gesetzes einsetzen, erhalten Sie im Wesentlichen: $$m\ddot{x} = F(x),$$ $$m \ddot{y} = G(x).$$ Der Schlüssel zur Lösung der ersten Gleichung liegt darin, dies zu erkennen $\ddot{x} = \dot{x}(d\dot{x}/dx)$. Mit dieser Tatsache können Sie die Geschwindigkeit in x-Richtung als Funktion von x auflösen, indem Sie einfach die Differentialgleichung trennen und integrieren. Für die 2. Gleichung müssen Sie x in y umkehren und denselben Trick anwenden – das heißt finden $H(y)$so dass $m\ddot{y} = G(x) = H(y)$. Dann schreiben wir die doppelte Zeitableitung in y analog zu dem, was wir für x geschrieben haben und gehen wie gewohnt vor.

Ich hoffe, ich habe Sie in eine nützliche Richtung gelenkt!