Was ist der mathematische Beweis für "Nettogeschwindigkeit"?

Womit Sie es hier zu tun haben, wird typischerweise Relativgeschwindigkeit genannt . Ehrlich gesagt habe ich den Begriff Nettogeschwindigkeit noch nie gehört und es scheint nicht richtig zu sein, von mehreren Geschwindigkeiten zu sprechen, die auf ein Objekt "wirken".

Vielmehr hat ein Objekt nur eine einzige Geschwindigkeit. Wir können über seine Geschwindigkeitsvektorkomponenten sprechen, wenn wir wollen, aber das ist alles.

Relativgeschwindigkeit in einem nicht-relativistischen Sinne (für nicht zu hohe Geschwindigkeit) ist einfach die Geschwindigkeit, wie sie aus verschiedenen Frames gesehen wird, und ist einfach die Differenz. Sie betrachten die Geschwindigkeit eines anderen Objekts und ziehen dann Ihre eigene Geschwindigkeit "weg" ab.

• Wenn Sie mit der Geschwindigkeit des Stroms auf einem Schwimmring stromabwärts treiben, passieren Sie das stromaufwärts segelnde Boot mit der Differenz Ihrer Geschwindigkeiten. Denken Sie daran, Zeichen einzubeziehen, und dann ist es eine einfache Subtraktion:

  $$v_\text{of boat relative to you}=v_\text{boat} - v_\text{you}=v_\text{boat} - v_\text{stream}.$$ Diese Berechnung gilt für jeden Referenzrahmen, dh für Geschwindigkeiten, die von jedem Rahmen aus gemessen werden (immer noch unter der Annahme nicht zu hoher Geschwindigkeiten).

• Wenn Sie auf dem Boden stehen, wird das Boot Sie auch mit der relativen Geschwindigkeit überholen:

  $$v_\text{of boat relative to you}=v_\text{boat} - v_\text{you}=v_\text{boat}.$$ Die letzte Reduzierung kann vorgenommen werden, wenn die Geschwindigkeiten vom Bodenrahmen aus gemessen werden, wo Ihre eigene Geschwindigkeit Null ist.

Eine einfache mathematische Grundlage zur Bestimmung relativer Größen

Da alle Positionen, Geschwindigkeiten und Geschwindigkeiten relativ sind (dh es gibt keinen absoluten Rahmen, den wir kennen), brauchen wir einen strukturierten Ansatz zur Beschreibung dieser Größen. Wir können Vektoren verwenden , um diese Größen zu beschreiben. Ohne in die formale lineare Algebra einzusteigen, betrachten wir zuerst Positionen. Diese Figur zeigt 3 Punkte in einer kartesischen Geometrie und die sie verbindenden Pfeile repräsentieren relative Positionsvektoren. Der Pfeil, der von A auf B zeigt , ist die Position von B relativ zu A und in Notation nennen wir es$\vec{r}_{BA}$. Die anderen beiden Pfeile/Vektoren wären$\vec{r}_{CB}$Und$\vec{r}_{AC}$.

Geometrisch sehen wir das

Das heißt, wenn wir die Position von Objekt A relativ zu C und C relativ zu B kennen , können wir die Position von B relativ zu A berechnen :

Jetzt können wir die Geschwindigkeit von A relativ zu B berechnen , indem wir die zeitliche Ableitung beider Seiten der Gleichung (1) nehmen:

Wir wenden dies auf Ihr Problem an, indem wir sagen, A ist das Boot, B ist der Beobachter am Ufer und C ist das Wasser:

Für 1D-Bewegung, wenn die Bootsgeschwindigkeit relativ zum Wasser ist$+V_b$und die Wassergeschwindigkeit relativ zum Ufer ist$-V_w$, dann ist die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer$V_b-V_w$.

Der Begriff der Geschwindigkeit hängt vom Beobachter ab. Wenn Sie am Flussufer sind und jemanden auf einem Boot stromaufwärts rudern sehen, mit dem Tempo, das auf einem stillen See zum Beispiel 3 m/s ergeben würde, und wenn der Fluss mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s fließt, dann Es ist logisch, dass Sie wahrnehmen werden, dass sich das Boot mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s bewegt. Wenn Sie jedoch im Boot sitzen, scheint Ihnen das Boot stationär zu sein, und der Beobachter am Ufer ist derjenige, von dem Sie wahrnehmen, dass er sich bewegt (tatsächlich bewegt sich die gesamte Küstenlinie aus dieser Perspektive). Um also zu iterieren, hängt diese Nettogeschwindigkeit, an der Sie interessiert sind, vom Beobachter ab.

Ich stimme Ihnen zu, dass dies nicht klar ist. Sie beruht auf der Vorstellung, dass die hier anwendbaren physikalischen Gesetze (Newtonsche Mechanik, Strömungsmechanik) Galilei-Invariant sind. Was sie sind. Sie wechseln also einfach zum Ruherahmen des Stroms, lassen Ihr Boot dort beschleunigen und wechseln dann zurück.

Dass diese Annahme wirklich getroffen wird, sieht man daran, dass sie für relativistische Situationen nicht gilt.

Ich beantworte meine eigene Frage, da ich glaube, dass ich auf diese Idee gekommen bin:

Wenn ein Boot einen Strom hinauffährt; sagen Geschwindigkeit des Bootes ist$v_b$(in stillem Wasser) ist die Geschwindigkeit des Stroms$-v_s$. Jetzt lasst uns in einer Zeit stilles Wasser mitnehmen$t$die Verschiebung des Bootes$d_b= v_bt$. Nachdem das Boot die Strecke zurückgelegt hat, bewegt sich der Strom rückwärts, und da sich das Boot auf dem Strom befindet, bewegt es sich um die gleiche Strecke zurück, die der Strom zurücklegt, also ist die Verschiebung des Bootes jetzt die Verschiebung des Stroms, der ist$d_s=-v_st$. So ist die endgültige Verschiebung des Bootes aus der Ausgangsposition

Wir beobachten dies als die Endgeschwindigkeit als das Zeitintervall zwischen der zurückgelegten Distanz des Bootes$d_b$und dann wieder vorbeiziehen$d_s$Ist$0$, dh das "Vorwärtsbewegen" und das "Zurückkommen" treten gleichzeitig auf, und was wir beobachten, ist die endgültige Verschiebung dividiert durch die benötigte Zeit.

Angenommen, wir haben eine Reihe von Bojen, die im Wasser schwimmen, jede einen Meter stromabwärts von der letzten (wir geben vor, dass die Strömung stabil genug ist, dass sie die gleiche relative Position zueinander behalten). Angenommen, das Boot befindet sich bei 0 Sek. an Tonne 0, und beiden wird die x-Koordinate 0 m zugewiesen. Bei 1 Sek. ist das Boot bei Tonne 5. Relativ zum Wasser bewegt sich das Boot also mit 5 m/s. Zum Zeitpunkt 0 Sek. befand sich Tonne 5 auf x = 5m. Wenn die Flussströmung 1 m/s beträgt, dann befindet sich Tonne 5 zum Zeitpunkt 1 s bei x = 6 m. Das Boot hat also 6 m in 1 s zurückgelegt, bei einer Geschwindigkeit von 6 m/s, was gleich der aktuellen Geschwindigkeit plus der Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser ist.

Bis zu einem gewissen Grad ist "Relativgeschwindigkeit" per Definition die Gesamtgeschwindigkeit minus der Geschwindigkeit der Sache, zu der sie relativ ist, also folgt, dass die Gesamtgeschwindigkeit die Relativgeschwindigkeit plus die Geschwindigkeit der Sache ist, zu der sie relativ ist. Man kann sich einen Positionsvektor so vorstellen, dass er der Verschiebungsvektor zwischen dem Ursprung und dem betrachteten Punkt ist. Das heißt, einen Punkt gegeben$A$,$\vec A= A-O$(Mathematisch ausgedrückt kann ein Vektorraum aus einem affinen Raum definiert werden, indem ein Ursprungspunkt ausgewählt wird). Beachten Sie, dass$A$Und$O$sind tatsächliche Punkte, während$\vec A$ist ein Positionsvektor. Wenn wir eine Geschwindigkeit finden wollen, spielt es keine Rolle, welchen Punkt wir als Ursprung wählen, solange er konsistent ist, weil die Geschwindigkeit in Bezug auf die Differenz der Positionsvektoren berechnet wird.$\vec v = (\vec p_f - \vec p_i)/(t_f-t_i)$Und$\vec p_f - \vec p_i = (P_f-O)-(P_i-O)=P_f-P_i$, So$O$hebt auf. Wenn wir jedoch die Position relativ zur Strömung messen, bewegt sich der Ursprungspunkt mit der Strömung, also haben wir zwei verschiedene$O$, also haben wir$(P_f-O_f)-(P_i-O_i)=(P_f-P_i)-(O_f-O_i)$

Die Berechnung der Geschwindigkeit relativ zur Strömung unterscheidet sich von der Berechnung der Geschwindigkeit im Bezugssystem der Strömung. Mit den Geschwindigkeiten, denen Sie bei Flüssen begegnen, sind sie am Ende sehr ähnlich, aber bei relativistischen Geschwindigkeiten sind sie unterschiedlich.

Ich denke, es gibt keinen mathematischen "Beweis", warum die Nettogeschwindigkeit die Vektorsumme der Einzelgeschwindigkeiten sein muss. Es könnte gut sein, dass es nicht so ist. Für Alltagssituationen beobachten wir, dass dies im Allgemeinen in der realen Welt der Fall ist. Wenn die Geschwindigkeit jedoch viel höher wird (näher an die Lichtgeschwindigkeit), erweist sich die Vektoraddition von Geschwindigkeiten als falsch. Das ist also wirklich ein Problem der Physiktheorie und kann nicht durch Mathematik bewiesen werden.

Eine Änderung des Referenzrahmens zu einem beweglichen Koordinatensystem wird als Boost bezeichnet . Dass Boosts komponieren sollten, wie Sie sagen (Vektoraddition), ist ein Postulat der nicht-relativistischen klassischen Mechanik. In der Fachsprache geht die nicht-relativistische klassische Mechanik davon aus, dass die Physik unter der Wirkung der Galileischen Gruppe unveränderlich ist.

Mit anderen Worten, Sie können nicht hoffen, diese Beziehung zu beweisen, da es sich um eine grundlegende Annahme handelt. Wie Physiker später erfuhren, ist es eine Annahme, die nicht einmal mit der Beobachtung übereinstimmt. Es stellt sich heraus, dass die Physik unter der Wirkung der Poincare-Gruppe tatsächlich (lokal) invariant ist. Hier ist die Situation viel komplizierter. Anstelle einer einfachen Vektoraddition können wir feststellen, dass sich zwei Boosts zusammensetzen, um uns einen Boost plus eine Rotation zu geben.