Bedeutung von allgemeine Kovarianz

Wald ist ein erstklassiger Relativist, und als solcher formuliert er das Konzept der allgemeinen Kovarianz in Bezug auf rein geometrische Größen, anstatt auf den etwas ungenauen Begriff der Koordinatentransformation zurückzugreifen. In der Diskussion auf S. 57 gibt er ein Beispiel dafür, was es bedeutet, das Prinzip der allgemeinen Kovarianz zu verletzen.

In seinem Beispiel geht er davon aus, dass Sie zusätzlich zur Metrik ein bevorzugtes Vektorfeld haben$v^a$. Dieses Vektorfeld definiert eine Vorzugsrichtung in der Raumzeit und kodiert damit zusätzliche geometrische Strukturen. Könnte man sich denken$v^a$als eine Art Äther. Dann gäbe es in dieser Theorie ein bevorzugtes Koordinatensystem, in dem der Vektor$v^a$hat Komponenten$v^\mu = (1,0,...,0)$. Die resultierende Theorie wäre daher nicht allgemein kovariant.

Um dieses Beispiel etwas weiter zu führen, können wir ein Skalarfeld betrachten. Eine Aktion, die Sie schreiben könnten, ist

$$S = \frac12\int(\eta^{ab}\partial_a\phi\partial_b\phi - \alpha (v^a\partial_a\phi)^2)$$ und die Bewegungsgleichung ist dann $$\eta^{ab}\partial_a\partial_b\phi - \alpha v^b\partial_b(v^a\partial_a\phi) = 0,$$ Nehmen Sie in einer transparenteren Form an $\partial_b v^a = 0$, und lass $v^a$in Zeitrichtung zeigen. Dann wird diese Gleichung $$(1-\alpha)\partial_t^2\phi - \nabla^2\phi=0,$$ dh eine Wellengleichung mit einer Geschwindigkeit $c_s^2 = (1-\alpha)^{-1}$. Diese Geschwindigkeit könnte jedoch leicht größer sein als $1$indem man $\alpha$positiv sein, also verstößt dies eindeutig gegen die spezielle Relativitätstheorie. Der Grund dafür ist, dass wir eingeschlossen haben $v^a$, eine geometrische Struktur neben der flachen Metrik $\eta_{ab}$.

Im Allgemeinen kann also jedes feste Vektor- oder Tensorfeld als zusätzliche geometrische Struktur fungieren. Sie können auch andere Dinge tun, z. B. einen festen Ableitungsoperator verwenden$\nabla_a$, was bedeutet, dass Sie dann Christoffel-Symbole schreiben könnten$\Gamma^a_{bc}$explizit in Gleichungen.

Der Unterschied zur Koordinateninvarianz besteht darin, dass es irgendwie leer ist zu sagen, dass eine Gleichung in allen Koordinatensystemen gültig ist. Das liegt daran, dass ich, wenn ich eine Gleichung habe und dann die Koordinaten ändere, immer noch dieselbe Gleichung erhalte, aber nur in einem anderen Koordinatensystem. Die Art, die Gleichung koordinateninvariant zu schreiben, besteht darin, alle zusätzlichen geometrischen Strukturen in der Theorie zu identifizieren (d. h$v^a$ebenso gut wie$\eta_{ab}$in unserem obigen Beispiel). Wenn danach die einzige geometrische Struktur, die benötigt wird, um die Gleichungen in einer allgemeinen Kovariante zu schreiben, die flache Metrik wäre$\eta_{ab}$, sagen wir, dass die Theorie eine allgemein kovariante spezielle relativistische Theorie ist.

Allgemeine Kovarianz bedeutet im Grunde, dass Sie Ihr Koordinatensystem beliebig ändern und die Gesetze der Physik in den neuen Koordinaten ausdrücken können. Aufgrund dieser Freiheit ist die Beziehung zwischen Koordinatenabständen , Winkeln usw. und physischen Abständen, Winkeln usw. variabel und wird durch die Metrik ausgedrückt.

Die zitierte Aussage besagt also im Grunde, dass Sie Ihre Koordinaten nicht als physikalische Bedeutung nehmen können und physikalische Gesetze nicht so formuliert werden sollten, dass Sie ein bestimmtes Koordinatensystem verwenden müssen. Sie müssen Koordinaten immer durch die Metrik in physikalische Werte übersetzen.

Sie können beispielsweise nicht einfach die euklidische Distanzformel verwenden$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$für Abstände zwischen Punkten bei der Berechnung einer Kraft oder ähnlichem, da dies nur im flachen Raum in kartesischen Koordinaten gültig ist.

Die andere Seite davon und die tiefere physikalische Bedeutung ist das Äquivalenzprinzip , das besagt, dass die Beschleunigung einem Gravitationsfeld entspricht. Dies kann so ausgedrückt werden, dass die Gesetze der Physik nichts über die Raumzeit „wissen“ können, außer was in der Metrik enthalten ist. Ein sich beschleunigender Referenzrahmen und ein Gravitationsfeld ergeben lokal dieselbe Metrik, sodass sie für alle physikalischen Zwecke völlig gleichwertig sind. Die Metrik kennt den Unterschied nicht, also kennen die Gesetze der Physik den Unterschied nicht.