Kovariante Formulierung von E&M

Kann mir jemand erklären, was die "kovariante Formulierung der Elektrodynamik" bedeutet? Was bedeutet hier die Kovariante?

Invarianz von Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen? Inwiefern? Invarianz unter mathematischer Basisänderung?

Bezieht es sich auf ko- und kontravariante Ableitungen aus der Differentialgeometrie? Dort beziehen sich die Wörter kovariant und kontravariant darauf, wie sich Objekte unter allgemeinen Koordinatentransformationen transformieren.

Siehe Wikipedia .
@Qmechanic: Es wird das Wort "offensichtlich invariant" verwendet. Bedeutet dies, dass sich die Maxwell-Gleichungen nur wie Tensoren transformieren (in Bezug auf Tensorableitungen) oder dass die Form der Gleichungen nach einer Lorentz-Transformation gleich bleibt? Laut Jáns Antwort ist mehr erforderlich als nur die "Formkonzervation". Ich schätze also, dass "offensichtlich invariant" kompatibles Tensorverhalten UND "Formkonzervation" bedeutet. Ist das die Definition? Oder ist die zweite Anforderung überflüssig, da sie automatisch gilt, wenn sich die Gleichungen wie Tensoren verhalten?

Antworten (1)

Das bedeutet, dass die Theorie in der Sprache der Tensorfelder ausgedrückt/diskutiert wird, wobei die Tensoren Größen sind, die sich gemäß der Lorentz-Transformation zwischen sich gegenseitig bewegenden Trägheitsrahmen transformieren . Alle Differentialgleichungen werden als Beziehungen zwischen Tensorfeldern und ihren Ableitungen ausgedrückt. Zum Beispiel die Gleichung

D P k D T = Q E k + Q ϵ k ich J v ich B J

die die Notation von 3-Vektoren verwendet, ist nicht kovariant, da die beteiligten Größen, obwohl sie in allen Rahmen dieselbe Form haben, keine Tensoren sind, die sich gemäß der Lorentz-Transformation zwischen sich bewegenden Rahmen transformieren würden. Sie wandeln sich nur zwischen zueinander ruhenden Rahmen als kartesische Tensoren um.

Die kovariante Formulierung desselben Gesetzes ist

D P μ D τ = Q F μ v u v ,
unter Verwendung von Komponenten von 4-Vektoren P , u und 4-Tensor F . Dies liegt daran, dass die Gleichung in einem anderen Rahmen die gleiche Form und die beteiligten Größen hat - P , u , F - als Tensoren nach der Lorentz-Transformation transformieren.

Hallo, danke für die Antwort. Eine Frage zu Ihrer Argumentation D P k D T = Q E k + Q ϵ k ich J v ich B J ist nicht kovariant. Meinst du damit, wenn ich einen Lorentz-Trafo baue E k → E k ' , B J → B J ' für alle beteiligten Größen würde es dann die "Form" der Gleichung brechen? Oder habe ich deine Erklärung falsch verstanden?
Nein, die Form der Gleichung ist dieselbe, aber das Problem ist, dass das Tripel E 1 , E 2 , E 3 kein 4-Vektor ist, der auf Standard-Weise transformiert werden könnte, wie z E ' k = Λ l k E l . Die richtige Umformung von E k ' S ist keine einfache Lorentz-Transformation auf einem Quadrupel von Zahlen, sondern man muss zuerst einen Tensor bilden F μ v was enthält E k ' s in einer Zeile und transformieren dann diesen Tensor gemäß der Lorentz-Transformation. Mit anderen Worten, die Lorentz-Transformation kann nicht direkt angewendet werden E k 's und B J 'S.
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