Was bedeutet es, die Maxwell-Gleichungen mit dem Curl-Operator zu entkoppeln?

Ich lese gerade Introduction to Electrodynamics 4th Edition von DJ Griffiths, wo nach dem Auflisten der Maxwell-Gleichungen im leeren Raum (dh ρ = 0 , J = 0 , μ = μ 0 , ϵ = ϵ Ö ) sagt er auf S. 393:

[Die Gleichungen] stellen einen Satz gekoppelter partieller Differentialgleichungen erster Ordnung für E und B dar. Sie können entkoppelt werden, indem man die Schleife auf (iii) und (iv) anwendet:

wobei die Gleichungen (iii) und (iv) lauten:

∇ × E = − ∂ B ∂ T

∇ × B = − μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ T

Griffiths wendet dann den Curl-Operator auf beide Funktionen an und gelangt zur Wellengleichung für elektromagnetische Wellen.

Ich verstehe nicht, warum wir den Curl-Operator verwenden. Es erscheint mir willkürlich, ohne zu verstehen, was Griffiths unter gekoppelten PDEs versteht und sie mit dem Curl-Operator entkoppelt. Ich weiß, dass die beiden Gleichungen aufeinander angewiesen sind; Ein Feld beeinflusst das andere und das spiegelt sich in den Gleichungen wider, vielleicht ist das mit gekoppelt gemeint.

Meine Fragen bestehen aus zwei Teilen:

  1. Was bedeutet es, Gleichungen zu koppeln, und warum müssen wir sie entkoppeln?

  2. Warum entkoppelt die Verwendung des Curl-Operators sie?

Nehmen Sie zum Beispiel die erste Gleichung: Sie hat die zeitliche Ableitung von B, aber die zweite sagt Ihnen, dass die Kräuselung von B mit E zusammenhängt. Wenn Sie also eine Gleichung mit NUR dem Feld E wollen, müssen Sie die nehmen curl des ersten eq und ersetzen Sie die Beziehung für curl B, die vom zweiten bereitgestellt wird. Deshalb nimmt Griffiths die Locke.
Aber warum gerade die Locke?
Es mag "albern" klingen, aber der Grund dafür ist, dass die Gleichungen bereits die Locke enthalten: Wie erhalten Sie eine Gleichung für E, wenn nur die beiden aufgelisteten gegeben sind? (Erhalten einer einzigen Gleichung nur für E oder B = Entkoppeln der Gleichungen).
Okay, ist es nur so, weil die Gleichungen einen Curl-Operator haben, werden sie durch die Verwendung einer anderen Curl entkoppelt , das heißt, wir erhalten Gleichungen für die Felder, die nicht von dem anderen Feld abhängen?
Genau, nichts "Außergewöhnliches" hinter der Verwendung der Locke, es ist nur die natürliche Art, die Gleichungen zu entkoppeln. Probieren Sie dieses Spiel aus: Setzen Sie einen anderen Operator (z. B. eine generische Operation "L", die mit der Zeitableitung pendelt) in die beiden Maxwell-Gleichungen anstelle der Locke ein und versuchen Sie, sie zu entkoppeln. Sie werden sehen, dass Sie "L" anwenden müssen.
Okay, ich denke, das beantwortet meine Fragen. Danke @Quillo

Antworten (1)

Kopplung bedeutet einfach, dass beide Gleichungen beide Felder beinhalten, sodass Sie sie nicht getrennt lösen können.

Nun beinhalten beide Gleichungen eine Beziehung zwischen der Kräuselung eines Feldes und des anderen Feldes. Wenn wir also die erste Gleichung nehmen und curl anwenden, enthält die rechte Seite ∇ × B , in Bezug auf die wir schreiben können E und eine Gleichung nur in Bezug auf das elektrische Feld schreiben lassen: Das ist es, was Entkopplung bedeutet.

Die Locke verkompliziert nur eine einfache Idee: wenn wir ein Paar Gleichungen erster Ordnung haben

F ˙ = A G G ˙ = B F ,

wie entkoppeln wir sie? Nehmen Sie einfach Derivate! Nach ein wenig Algebra werden sie zu den beiden Gleichungen zweiter Ordnung

F ¨ = A B F G ¨ = A B G .

Als letzte Anmerkung, die Locke ist nicht die einzige Option: Sie können auch Zeitableitungen nehmen, die gleichen Schritte durchlaufen und zum gleichen Ergebnis kommen.

Was bedeutet es, die Maxwell-Gleichungen mit dem Curl-Operator zu entkoppeln?
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