Wie leitet man die Maxwell-Gleichungen aus der elektromagnetischen Lagrange-Funktion ab?

Question

Wie leitet man die Maxwell-Gleichungen aus der elektromagnetischen Lagrange-Funktion ab?

Physik
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip
Klassische Elektrodynamik

Regenmann

In Heaviside-Lorentz-Einheiten lauten die Maxwell-Gleichungen:

\nabla \cdot \vec{E} = ρ

$\nabla \cdot \vec{E} = \rho$

\nabla \times \vec{B} - \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{J}

$\nabla \times \vec{B} - \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{J}$

\nabla \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0

$\nabla \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0$

\nabla \cdot \vec{B} = 0

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

Aus der EM-Lagrange-Dichte:

L = \frac{- 1}{4} F^{μ v} F_{μ v} - J^{μ} {EIN}_{μ}

$\mathcal{L} = \frac{-1}{4} F^{\mu \nu}F_{\mu\nu} - J^\mu A_\mu$

Die ersten beiden Gleichungen kann ich aus der Variation des Wirkungsintegrals ableiten: $S[A] = \int \mathcal{L} \, d^4x$ . Kann man daraus die letzten beiden Gleichungen ableiten?

FraSchelle

@LarryHarson Da Sie ziemlich verärgert über die mangelnde Klarheit der vorliegenden Antworten zu sein scheinen, möchte ich sie zusammenfassen. Die Frage ist also, ob es möglich ist, die Maxwell-Gleichungen ohne Quelle aus der Aktion abzuleiten $S(A)$ . Die Antwort ist, SIE BRAUCHEN ES NICHT, weil sie in der Schrift enthalten sind

S (A)

$S(A)$ : Sie sind die Definition der Felder in Bezug auf die Potenziale. Das haben alle unten versucht zu sagen: seit

F = d A

$F=dA$ , dann

d F = 0

$dF=0$ , genannt die Bianchi-Gleichheit.

FraSchelle

@LarryHarson Wie könntest du sonst von einer Aktion ausgehen?

S (A)

$S(A)$ je nach Potential , und enden Sie mit Gleichungen für Felder , wenn Sie sich nicht entscheiden

B = \nabla \times A

$B=\nabla\times A$ und

E = \partial A + \nabla ϕ

$E=\partial A + \nabla\phi$ ? Diese beiden Feld <-> potentiellen Beziehungen\Definitionen erzwingen

\nabla \cdot B = 0

$\nabla\cdot B =0$ und

\partial B + \nabla \times E = 0

$\partial B + \nabla\times E =0$ .

Antworten (3)

Wie leitet man die Maxwell-Gleichungen aus der elektromagnetischen Lagrange-Funktion ab?

@LarryHarson Da Sie ziemlich verärgert über die mangelnde Klarheit der vorliegenden Antworten zu sein scheinen, möchte ich sie zusammenfassen. Die Frage ist also, ob es möglich ist, die Maxwell-Gleichungen ohne Quelle aus der Aktion abzuleiten $S(A)$ . Die Antwort ist, SIE BRAUCHEN ES NICHT, weil sie in der Schrift enthalten sind $S(A)$ : Sie sind die Definition der Felder in Bezug auf die Potenziale. Das haben alle unten versucht zu sagen: seit $F=dA$ , dann $dF=0$ , genannt die Bianchi-Gleichheit.
@LarryHarson Wie könntest du sonst von einer Aktion ausgehen? $S(A)$ je nach Potential , und enden Sie mit Gleichungen für Felder , wenn Sie sich nicht entscheiden $B=\nabla\times A$ und $E=\partial A + \nabla\phi$ ? Diese beiden Feld <-> potentiellen Beziehungen\Definitionen erzwingen $\nabla\cdot B =0$ und $\partial B + \nabla\times E =0$ .

QMechaniker · Answer 1

Nehmen Sie der Einfachheit halber Lichtgeschwindigkeit an $c=1$ . Die Existenz des Messgeräts $4$ -Potenzial $A^{\mu}=(\phi, \vec{A})$ allein impliziert, dass die quellenfreien Maxwell-Gleichungen

\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0'' kein magnetischer Monopol"

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} ~=~ 0 \qquad ``\text{no magnetic monopole"}$

\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \vec{0}'' Faradaysches Gesetz“

$\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ~=~ \vec{0}\qquad ``\text{Faraday's law"}$

sind bereits identisch zufrieden. Um sie zu beweisen, verwenden Sie einfach die Definition des elektrischen Feldes

\vec{E} := - \vec{\nabla} ϕ - \frac{\partial \vec{EIN}}{\partial t},

$\vec{E}~:=~-\vec{\nabla}\phi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t},$

und das Magnetfeld

\vec{B} := \vec{\nabla} \times \vec{EIN}

$\vec{B}~:=~\vec{\nabla}\times\vec{A}$

in Bezug auf die Spurweite $4$ -Potenzial $A^{\mu}=(\phi, \vec{A})$ .

Das Obige wird natürlicher in einer offensichtlich Lorentz-kovarianten Notation diskutiert . OP könnte diesen Phys.SE-Beitrag auch interessant finden.

Also, um es zu wiederholen, noch bevor Sie beginnen, die Maxwell-Aktion zu variieren $S[A]$ , die Tatsache, dass die Aktion $S[A]$ ist in Bezug auf die Spurweite formuliert $4$ -Potenzial $A^{\mu}$ bedeutet, dass die quellenfreien Maxwell-Gleichungen identisch erfüllt sind. Anders formuliert, da die quellenfreien Maxwell-Gleichungen in diesem Ansatz offensichtlich von Anfang an implementiert sind, wodurch die Maxwell-Wirkung variiert wird $S[A]$ wird den Status der quellenfreien Maxwell-Gleichungen in keiner Weise beeinflussen.

Prahar · Answer 2

Beachten Sie das seit $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , wir haben die Gleichung

\partial_{μ} F_{v a} + \partial_{a} F_{μ v} + \partial_{v} F_{a μ} = 0

$\partial_\mu F_{\nu\alpha} + \partial_\alpha F_{\mu\nu} + \partial_\nu F_{\alpha\mu} = 0$ Diese Gleichung wird Bianchi-Identität genannt. Diese Gleichung ist getrennt von den Bewegungsgleichungen, die man durch Variieren der Aktion erhält. Es kann gezeigt werden, dass die Bianchi-Gleichung den letzten beiden Gleichungen entspricht, die Sie in Ihrer Frage erwähnt haben.

HINWEIS: Um die Antwort von @Qmechanic näher zu erläutern, die Tatsache, dass $F_{\mu\nu}$ kann geschrieben werden als $\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ ist selbst eine Folgerung aus den letzten beiden Gleichungen.

-1 Es wurde die Frage gestellt, ob es möglich ist, die letzten beiden Gleichungen durch Variation der elektromagnetischen Wirkung abzuleiten.
@LarryHarson Sie wissen, dass es völlig legitim ist, Teilantworten auf eine Frage zu schreiben? Alle Antworten abzulehnen, die die Frage nicht vollständig beantworten, ist fast schon Trolling ...
@LarryHarson: Da das OP klargestellt hat, was er wollte, war Ihre Ablehnung ungerechtfertigt. Überprüfen Sie diese Antwort täglich, um festzustellen, ob sie bearbeitet wurde, damit Sie Ihre Ablehnung rückgängig machen können. . BEARBEITEN: Ich sehe, dass Sie nach der Klarstellung abgelehnt haben ... Wie beantwortet dies die Frage nicht? .
@Dimension10 und prahar: Ja, ich werde dies positiv bewerten, wenn es bearbeitet wird.
@LarryHarson: Ich habe die <s>Frage</s> ANTWORT jetzt bearbeitet. Bitte machen Sie Ihre Ablehnung rückgängig.
@Dimension10 Ich habe positiv abgestimmt, danke für die Erinnerung.

Alfred Centauri · Answer 3

Aus geometrischer Sicht sind die letzten beiden Gleichungen eine Folge von:

(1) F = dA (Faraday-Tensor ist die äußere Ableitung des Viererpotentials)

(2) dd = 0 (die äußere Ableitung der äußeren Ableitung verschwindet)

Daher

(3) dF = 0

was die letzten beiden Gleichungen in Ihrer Frage ergibt.

Ein sehr verspäteter Kommentar: Diese Notation ist so prägnant, dass sie einer Anleitung bedarf.

Wie leitet man die Maxwell-Gleichungen aus der elektromagnetischen Lagrange-Funktion ab?

Regenmann

FraSchelle

FraSchelle

Antworten (3)

QMechaniker

Prahar

Larry Harson

Dehnung

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Larry Harson

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Larry Harson

Alfred Centauri

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Larry Harson

meine2cts

Wiederherstellung aller Maxwell-Gleichungen aus dem Variationsprinzip

Physikalische Interpretation des EM-Feld-Lagrange

Ableitung der gesamten Elektrodynamik aus einer einzigen Aktion

Euler-Lagrange-Gleichungen mit E⃗ E→\vec{E} und B⃗ B→\vec{B} statt AμAμA^\mu [Duplikat]

Klassische Elektrodynamik der kleinsten Wirkung ohne Potentiale

Lagrange-Dichte für die Lorentz-Kraft der kontinuierlichen Ladungsverteilung im externen Feld?

Ableitung der Maxwell-Gleichungen aus dem Feldtensor-Lagrangian

Elektrodynamik und die Lagrange-Dichte [Duplikat]

Abrufen der Maxwell-Gleichungen aus dem Prinzip der minimalen Wirkung

Lagrange-Dichte für die klassische Elektrodynamik in Materie