Ableitung der Lichtgeschwindigkeit unter Verwendung der Integralformen der Maxwell-Gleichungen

Der handgewellte Weg, dies zu tun, besteht darin, eine Wellenlösung wie die folgende zu betrachten und das Faradaysche Gesetz auf Schleife 1 und das Amperesche Gesetz auf Schleife 2 anzuwenden:

Wenn Sie die Schleifen schmal genug machen, dh ihre Breiten sind$dx$, Dann

Die Differential- und Integralformen der Maxwellschen Gleichungen sind wirklich äquivalent; sie sind im Wesentlichen die gleichen Gleichungen.

Zwischen den beiden kann man mit zwei mathematischen Theoremen umrechnen:

Divergenzsatz ( Wikipeda - Divergenzsatz ) Satz von Stokes ( Wikipedia - Satz von Stokes )

Der Divergenzsatz besagt, dass der Fluss über eine geschlossene Oberfläche eines Vektorfelds gleich der Integration der Divergenz dieses Vektorfelds über das von der Oberfläche eingeschlossene Volumen ist. Der Satz von Stokes besagt, dass das Linienintegral eines Vektorfelds über einen geschlossenen Pfad gleich der Integration der Kräuselung dieses Vektorfelds über jede Oberfläche ist, die durch den geschlossenen Pfad begrenzt ist.

Was Sie nun zeigen wollen, ist eine Wellengleichung, die, wie Sie gesagt haben, eine Differentialform ist; das ist wie folgt:

$\nabla^{2} \vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}$

Nun, um von der Integralform dorthin zu gelangen, tun Sie Folgendes: Nehmen Sie zum Beispiel die dritte Gleichung, die besagt:

$\oint \limits_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint\limits_S \vec{B}\cdot \vec{dS}$

Nun besagt der Satz von Stokes:

$\oint \limits_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = \iint\limits_S \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \vec{dS}$

Stecken Sie es ein und Sie erhalten:

$\iint\limits_S \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \vec{dS} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint\limits_S \vec{B}\cdot \vec{dS}$

Ändern Sie die Reihenfolge der Zeitableitung und des Integrals (ja, das können Sie tun) und sammeln Sie unter demselben Integralzeichen:

$\iint\limits_S (\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} )\cdot \vec{dS}$

Da dies nun für jede Fläche S gelten muss, muss der Integrand selbst Null sein. Also bekommen wir:

$\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0$

Jetzt sind wir auf dem Weg, die Wellengleichung zu erhalten, aber was wir als ersten Schritt getan haben, ist einfach die Integralform der Gleichung in ihre Differentialform umzuwandeln! Um fortzufahren, müssten Sie dasselbe mit den ersten beiden Gleichungen machen und dann anwenden$(\vec{\nabla}\times)$Operator für die Gleichung, die wir gerade oben erhalten haben ... Verwenden Sie eine Vektoridentität und gelangen Sie dorthin ...

Sie könnten sagen, dass dies nicht wirklich die Integralformen verwendet, um auf die Wellengleichung zu kommen! Nun, es geht von den Integralformen der Gleichungen aus, aber welche Wahl haben wir, wenn wir sowieso versuchen, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zu erreichen ??

(Das obige Verfahren gibt Ihnen die Wellengleichung für$\vec{E}$. Um den zu bekommen$\vec{B}$, müssen Sie mit Gleichung vier beginnen ...)

Ich denke, was ich tue, ähnelt dem, was Lionelbrits gepostet hat. Ich berechne die Spannung um eine quadratische Antennenschleife herum auf zwei Arten: Erstens als Änderungsrate des magnetischen Flusses von der Spitze der durchgehenden magnetischen Welle; und zweitens als maximale Differenz der Spannungen entlang der beiden vertikalen Zweige, wie durch Integrieren des e-Vektors berechnet.

Wenn Sie davon ausgehen, dass der E-Vektor und der H-Vektor sinusförmig sind und das Verhältnis zwischen ihnen 377 Ohm beträgt, dann geben diese beiden Antennenberechnungen nur dann dieselbe Antwort, wenn die Lichtgeschwindigkeit 3 ​​x 10 ^ 8 beträgt .