Weder Biot-Savart noch Ampere Law können dieses Problem lösen?

Question

Weder Biot-Savart noch Ampere Law können dieses Problem lösen?

julianisch

Ich bin verwirrt über die Verwendung des Ampere-Gesetzes und des Biot-Savart-Gesetzes aufgrund der Unannehmlichkeiten jedes Gesetzes.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich möchte das magnetische Feld aufgrund stromdurchflossener Kreisschleife über sich selbst berechnen, also nicht das magnetische Feld außerhalb der Schleife sondern $B$ über die Schleife. Dazu verwende ich die beiden Gesetze:

1. Amperes Gesetz

Es sagt, dass:

\oint B \cdot D l = μ_{0} ICH

$\oint B\cdot dl = \mu_0 I$

Das Problem mit dem Amperegesetz ist das $B$ innerhalb des Integrals liegt, also um zu lösen $B$ Ich muss eine geschlossene Leitung verwenden $L$ , so dass $B$ das hängt nicht davon ab $dL$ . In diesem Fall:

\oint B \cdot D l = μ_{0} ICH

$\oint B\cdot dl = \mu_0 I$

B \oint D l = μ_{0} ICH

$B \oint dl = \mu_0 I$

B = \frac{μ_{0} ICH}{L}

$B = \frac{\mu_0 I}{L}$

Aber welche Art von Flugbahn $L$ soll ich wählen?

2. Gesetz von Biot Savart

Lassen Sie die Flugbahn:

C (θ) = R (\cos θ \hat{ich} + Sünde θ \hat{J})

$c(\theta) = R(\cos\theta\hat i + \sin\theta\hat j)$

D C (θ) = R (- Sünde θ \hat{ich} + \cos θ \hat{J}) D θ

$dc(\theta) = R(-\sin\theta\hat i + \cos\theta\hat j)d\theta$

Das Magnetfeld am Punkt $c(t)$ Ist:

D B = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{ICH D C \times R}{| R |^{3}}

$dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idc\times r}{|r|^3}$

B (T) = \int_{0}^{2 π} \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{ICH D C \times (C (T) - C (θ))}{| C (T) - C (θ) |^{3}}

$B(t) = \int_0^{2\pi}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idc\times (c(t)-c(\theta))}{|c(t)-c(\theta)|^3}$

B (T) = \int_{0}^{2 π} \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{ICH R (- Sünde θ \hat{ich} + \cos θ \hat{J}) D θ \times R ((\cos T - \cos θ) \hat{ich} + (Sünde T - Sünde θ) \hat{J})}{| R ((\cos T - \cos θ) \hat{ich} + (Sünde T - Sünde θ) \hat{J}) |^{3}}

$B(t) = \int_0^{2\pi}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR(-\sin\theta\hat i + \cos\theta\hat j)d\theta\times R((\cos t-\cos\theta)\hat i+(\sin t-\sin\theta)\hat j)}{|R((\cos t-\cos\theta)\hat i+(\sin t-\sin\theta)\hat j)|^3}$

B (T) = \int_{0}^{2 π} \frac{μ_{0} ICH}{4 π R} \frac{(- Sünde θ Sünde T + {Sünde}^{2} θ - \cos θ \cos T + \cos^{2} θ) \hat{k}}{{\sqrt{\cos^{2} T - 2 \cos T \cos θ + \cos^{2} θ + {Sünde}^{2} T - 2 Sünde T Sünde θ + {Sünde}^{2} θ}}^{3}} D θ

$B(t) = \int_0^{2\pi}\frac{\mu_0I}{4\pi R}\frac{(-\sin\theta \sin t+\sin^2\theta - \cos\theta \cos t +\cos^2\theta)\hat k}{\sqrt{\cos^2 t-2\cos t\cos \theta+\cos^2\theta+\sin^2 t-2\sin t\sin\theta+\sin^2\theta}^3}d\theta$

B (T) = \int_{0}^{2 π} \frac{μ_{0} ICH}{4 π R} \frac{1 - \cos (T - θ)}{(2 (1 - \cos (T - θ)))^{3 / 2}} D θ \hat{k}

$B(t) = \int_0^{2\pi}\frac{\mu_0I}{4\pi R}\frac{1-\cos(t-\theta)}{(2(1-\cos(t-\theta)))^{3/2}}d\theta\hat k$

B (T) = \frac{μ_{0} ICH}{8 \sqrt{2} π R} \int_{0}^{2 π} \frac{D θ}{\sqrt{1 - \cos (T - θ)}} \hat{k}

$B(t) = \frac{\mu_0I}{8\sqrt{2}\pi R}\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\cos(t-\theta)}}\hat k$

Dieses Integral strebt gegen unendlich, denn irgendwann $t$ (das ist $c(t)$ ist ein Punkt in der kreisförmigen Schleife) tendenziell $\theta$ und der Nenner wird 0. Es ist also unmöglich, das Magnetfeld über die eigene Spirale zu berechnen.

Und ich denke, dass der Hauptgrund dafür darin besteht, dass im Biot-Savart-Gesetz die $r$ steht im Nenner, also wenn ich versuche, das Magnetfeld sehr nah am Strom zu berechnen, ist dies $r$ geht gegen Null und das Magnetfeld gegen unendlich.

Wenn ich diese Berechnung mit der Formel für Volumina versuche ( $B = \int_V \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Jdv\times r}{|r|^3}$ ) Das Problem bleibt aufgrund der $r$ ist im Nenner und das Magnetfeld in der Nähe eines bestimmten Punktes $dv$ wird gegen unendlich tendieren, weil $r$ tendiert gegen null.

Wie geht man bei dieser Berechnung vor?

Trimok

Siehe Formel

(28)

$(28)$ Buchseite

8

$8$ in diesem Papier

julianisch

Wenn Sie die Formel (14) in meinem Fall sehen

k = 1

$k=1$ Weil

a = r

$a=r$ Und

z = h

$z=h$ . Also, wenn

k = 1

$k=1$ die Formel (28) geht gegen unendlich

Trimok

Tatsächlich z

z = h

$z=h$ , Sie haben nur den zweiten Term in

(28)

$(28)$ , und der Koeffizient von

E

$E$ hat sowohl einen Zähler (

k^{2} (r + a) - 2 a

$k^2(r+a) - 2a$ ) und einen Nenner (

2 r (1 - k^{2})

$2r(1-k^2)$ ), die Null sind (z

r = a, k = 1

$r=a, k=1$ ), so dass Sie eine detailliertere Analyse des Limits benötigen.

Trimok

Schreiben Sie für Informationen a

@ u s e r

$@user$ Wenn Sie möchten, dass Ihre Nachricht direkt in die Benutzer-Mail geht (dies ist nicht erforderlich, wenn Sie auf eine Frage antworten, und in einigen anderen Fällen), tippen Sie einfach

@

$@$ am Anfang des Kommentars, und wenn es notwendig ist, erhalten Sie die Liste der möglichen Benutzer.

julianisch

@Trimok: Der Koeffizient im zweiten Term in (28) tendiert dazu

- 1

$-1$ , weil der Zähler dazu tendiert

k^{2} (2 r) - 2 r = - 2 r (1 - k^{2})

$k^2(2r)-2r=-2r(1-k^2)$ was der gleiche Nenner ist

2 r (1 - k^{2})

$2r(1-k^2)$ . Es neigt also dazu

- 1

$-1$ . Aber der erste Term ist dadurch auch ein undefinierter Wert 0/0

(z - h) / (1 - k^{2})

$(z-h)/(1-k^2)$ . Lösung:

(z - h) / (1 - \frac{4 r^{2}}{4 r^{2} + (z - h)^{2}})

$(z-h)/(1-\frac{4r^2}{4r^2+(z-h)^2})$

= \frac{4 r^{2} + (z - h)^{2}}{z - h}

$=\frac{4r^2+(z-h)^2}{z-h}$

= \frac{4 r^{2}}{z - h} + (z - h)

$=\frac{4r^2}{z-h}+(z-h)$ ... und das tendiert dazu

\infty

$\infty$ für

z = h

$z=h$ .

Trimok

Es gibt eine Unklarheit. Ich beginne mit

z = h

$z=h$ und dann vorbei

r = a

$r=a$ , während Sie den anderen Weg wählen (zuerst

r = a

$r=a$ und dann

z = h

$z=h$ ). Nun, eine andere Denkweise besteht darin, zu berücksichtigen, dass eine physikalische Stromschleife einen endlichen Abschnitt hat

d

$d$ , mit einer Stromdichte

J = \frac{I}{S} = \frac{I}{π d^{2}}

$J = \frac{I}{S} = \frac{I}{\pi d^2}$ . Das Amperegesetz, z

r < d

$r<d$ , sollte mit einem Strom angelegt werden

I (r) = (4 π r^{2}) J = I \frac{r^{2}}{d^{2}}

$I(r) = (4\pi r^2) J = I \frac{r^2}{d^2}$ . Natürlich haben Sie nur im Fall des unendlichen Zylinders eine Symmetrie, wie z

B

$B$ hat einen konstanten Betrag und ist tangential zum Kreis

L

$L$ .

Der Quantenmann

Ihre Ampere-Schleife im Ampere-Gesetz ist falsch. Sie können B nicht aus dem Integral herausholen, da B aus dem gesamten Strom erzeugt wird, also ist es nicht konstant über die Schleife. Denken Sie darüber nach

Antworten (2)

Weder Biot-Savart noch Ampere Law können dieses Problem lösen?

Wenn Sie die Formel (14) in meinem Fall sehen $k=1$ Weil $a=r$ Und $z=h$ . Also, wenn $k=1$ die Formel (28) geht gegen unendlich
Tatsächlich z $z=h$ , Sie haben nur den zweiten Term in $(28)$ , und der Koeffizient von $E$ hat sowohl einen Zähler ( $k^2(r+a) - 2a$ ) und einen Nenner ( $2r(1-k^2)$ ), die Null sind (z $r=a, k=1$ ), so dass Sie eine detailliertere Analyse des Limits benötigen.
Schreiben Sie für Informationen a $@user$ Wenn Sie möchten, dass Ihre Nachricht direkt in die Benutzer-Mail geht (dies ist nicht erforderlich, wenn Sie auf eine Frage antworten, und in einigen anderen Fällen), tippen Sie einfach $@$ am Anfang des Kommentars, und wenn es notwendig ist, erhalten Sie die Liste der möglichen Benutzer.
@Trimok: Der Koeffizient im zweiten Term in (28) tendiert dazu $-1$ , weil der Zähler dazu tendiert $k^2(2r)-2r=-2r(1-k^2)$ was der gleiche Nenner ist $2r(1-k^2)$ . Es neigt also dazu $-1$ . Aber der erste Term ist dadurch auch ein undefinierter Wert 0/0 $(z-h)/(1-k^2)$ . Lösung: $(z-h)/(1-\frac{4r^2}{4r^2+(z-h)^2})$ $=\frac{4r^2+(z-h)^2}{z-h}$ $=\frac{4r^2}{z-h}+(z-h)$ ... und das tendiert dazu $\infty$ für $z=h$ .
Es gibt eine Unklarheit. Ich beginne mit $z=h$ und dann vorbei $r=a$ , während Sie den anderen Weg wählen (zuerst $r=a$ und dann $z=h$ ). Nun, eine andere Denkweise besteht darin, zu berücksichtigen, dass eine physikalische Stromschleife einen endlichen Abschnitt hat $d$ , mit einer Stromdichte $J = \frac{I}{S} = \frac{I}{\pi d^2}$ . Das Amperegesetz, z $r<d$ , sollte mit einem Strom angelegt werden $I(r) = (4\pi r^2) J = I \frac{r^2}{d^2}$ . Natürlich haben Sie nur im Fall des unendlichen Zylinders eine Symmetrie, wie z $B$ hat einen konstanten Betrag und ist tangential zum Kreis $L$ .
Ihre Ampere-Schleife im Ampere-Gesetz ist falsch. Sie können B nicht aus dem Integral herausholen, da B aus dem gesamten Strom erzeugt wird, also ist es nicht konstant über die Schleife. Denken Sie darüber nach

Dictino · Answer 1

Wenn Sie Biot Savart oder das Amperesche Gesetz verwenden, werden Sie auf das gleiche Problem stoßen $B$ ist auf dem Ring nicht definiert.

Das ist das gleiche Problem wie bei dem Versuch, das elektrische Feld zu finden $E$ einer punktuellen Ladung nur an dem Punkt, an dem die Ladung platziert wird $1/r²$ wird $\infty$ ...

Sie müssen die Formel für Volumen verwenden, aber unter Verwendung der oberflächlichen Stromdichte $J$ und Integrieren auf einem Torus, dann ist das Magnetfeld wohldefiniert. Beachte das:

$\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{Jdv\times r}{|r|^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{4\pi r² d\Omega dr J\times r}{|r|^3}=\mu_0\int_V \frac{J\times u_r r³ d\Omega dr }{|r|^3}=\mu_0\int_V J\times u_r d\Omega dr$

Also auch wenn $r \to 0$ Die $\infty$ erscheint nicht.

Das Problem ist, dass das Lösen von Volumenintegralen komplizierter ist als das Verwenden einer Linie ... aber in diesem Fall kann ich keine bessere Option finden.

Die $r$ die Sie erwähnen, haben unterschiedliche Bedeutungen. Weil das $r$ aus ... $Jdv\times r$ ... ist der Abstand von allen Punkten des Torus zu einem einzigen Punkt im Torus, und der $r$ aus $4\pi r^2$ kommt von der Geometrie des Torus, aber sie sind zwei verschiedene $r$ 'S.

Dictino · Answer 2

Nun ... ich muss mit der Notation vorsichtig sein, fange zuerst an, den Torus zu beschreiben, der horizontal ist und so, dass der Ursprung darin liegt:

$x_t=\mathrm{sin}\left( \alpha_1\right) \,\left( R+\mathrm{cos}\left( \beta_1\right) \,u\right)$

$y_t= \mathrm{cos}\left( \alpha_1\right) \,\left( R+\mathrm{cos}\left( \beta_1\right) \,u\right)$

$z_t = \mathrm{sin}\left( \beta_1\right) \,u$

Für $-\pi/2<\alpha_1\le \pi/2$ , $-\pi/2<\beta_1\le \pi/2$ Und $0 \le u \le a$ Wo $R$ ist der Radius des Torus und $a$ seine Breite. Dann liegt ein Punkt innerhalb des Torus, wenn:

$(\sqrt{(R+x)^2+y^2}-R)^2+z^2 \le a^2$

Und die Stromdichte $||J||=\frac{I}{\pi a^2}$ kann in die Richtung zeigen, wo $\alpha_1$ wächst, das heißt $u_{\alpha}=[\frac{dx_t}{d \alpha},\frac{dy_t}{d\,\alpha},\frac{dz_t}{d\,\alpha}]=[-y_t,x_t+R,0]$ so endlich

$J=||J|| \frac{u_{\alpha}} {||u_{\alpha}||}=\\ =\begin{cases} [-\frac{y\,I}{2\,\pi \,{a}^{2}\,\sqrt{{\left( R+x\right) }^{2}+{y}^{2}}},\frac{I\,\left( R+x\right) }{2\,\pi \,{a}^{2}\,\sqrt{{\left( R+x\right) }^{2}+{y}^{2}}},0] &\mbox{if } \sqrt{(R+x)^2+y^2}-R)^2+z^2 \le a^2 \\ 0 & Otherwise. \end{cases}$

Angenommen, Sie möchten das Magnetfeld am Ursprung berechnen, um das Problem mit zu vermeiden $1/r^2$ wir können sphärische Koordinaten verwenden:

$x=\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \,\mathrm{sin}\left( \beta\right) \,r$

$y=\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \,\mathrm{cos}\left( beta\right) \,r$

$z=\mathrm{sin}\left( \alpha\right) \,r$

Dann müssen Sie die obigen Ausdrücke in Bezug auf die neuen Koordinaten umschreiben und das Biot-Savart-Gesetz anwenden ... Wenn Sie außerdem die Symmetrie des Problems berücksichtigen, wissen Sie das $B_x=B_y=0$ und vor einigen langwierigen Berechnungen der Ausdruck for $B_z$ ist wie folgt:

$B_z=\mu_0I\int\limits_0^{2R+a}\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi} {G \frac{\sqrt{R+\left( \mathrm{sin}\left( \beta\right) \,\mathrm{cos}\left( \alpha\right) -\mathrm{cos}\left( \beta\right) \,\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \right) \,r}\,\left( \mathrm{sin}\left( \beta\right) \,{\mathrm{cos}\left( \alpha\right) }^{2}\,R+{\mathrm{cos}\left( \alpha\right) }^{3}\,r\right) }{8\,\pi \,{a}^{2}\,\pi\,R+\left( 8\,\pi \,\mathrm{sin}\left( \beta\right) \,{a}^{2}\,\mathrm{cos}\left( \alpha\right) -8\,\pi \,\mathrm{cos}\left( \beta\right) \,{a}^{2}\,\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \right) \,\pi\,r} dr d\alpha d\beta}$

Wo $G(\alpha,\beta,r)=$

$\begin{cases} 1 &\mbox{if } {\left( \sqrt{{\left( R+\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \,\mathrm{sin}\left( \beta\right) \,r\right) }^{2}+{\mathrm{cos}\left( \alpha\right) }^{2}\,{\mathrm{cos}\left( \beta\right) }^{2}\,{r}^{2}}-R\right) }^{2}+{\mathrm{sin}\left( \alpha\right) }^{2}\,{r}^{2}<{a}^{2} \\ 0 & Otherwise. \end{cases}$

Beachten Sie, dass der Ausdruck schrecklich ist, aber gut definiert ist, das Unendliche verschwindet (wie ich Ihnen im letzten Kommentar gesagt habe).

Soweit ich weiß, gibt es keine Möglichkeit, dieses Integral analytisch zu lösen, aber Sie können eine Lösung numerisch für jeden Wert von berechnen. $R$ Und $a$ .

Entschuldigung, aber ich habe einen Fehler bei den Berechnungen gefunden, der korrekte Ausdruck lautet:

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