Kombination von Maxwell-Gleichungen und anderen Formen von Maxwell-Gleichungen

Question

Kombination von Maxwell-Gleichungen und anderen Formen von Maxwell-Gleichungen

Schwankungen

In Bezug auf dieses Papier auf arXiv , Seite drei, haben wir Folgendes:

Wir wissen, dass die Bianchi Identites sind $\partial_{[\alpha F_\beta\gamma]} = 0$ und sind gleichwertig

\nabla \cdot B = 0

$\nabla \cdot B =0$

\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial T}

$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$

Das wissen wir auch bei einem Lagrangian $L$ kann man definieren $G^{\mu\nu}$ von:

G^{μ v} = - 2 \frac{\partial L}{\partial F_{μ v}}

$G^{\mu\nu} = -2 \frac{\partial L}{\partial F_{\mu\nu}}$

und äquivalent,

\nabla \cdot D = 0

$\nabla \cdot D =0$

\nabla \times H = + \frac{\partial D}{\partial T}

$\nabla \times H = +\frac{\partial D}{\partial t}$

Die Feldgleichungen und Bianchi-Identite können in der Form kombiniert werden

\nabla \cdot (D + ich B) = 0

$\nabla \cdot (D +iB) =0$

\nabla \times (E + ich H) = ich \frac{\partial}{\partial T} (D + ich B)

$\nabla \times (E +iH) = i\frac{\partial}{\partial t} (D+iB)$

Meine Frage ist die letzte Zeile, wie wurden diese basierend auf dem, was vorher war, kombiniert?

Holograph

Zerlegt in Real- und Imaginärteil

Antworten (1)

Kombination von Maxwell-Gleichungen und anderen Formen von Maxwell-Gleichungen

Danu · Answer 1

Wie der Kommentar von Holographer zeigt, macht man Folgendes: Zuerst multipliziert man die Gleichungen mit $B$ Und $H$ auf der linken Seite von $i$ :

ich \nabla \cdot B = \nabla \cdot (ich B) = 0, Und \nabla \times (ich H) = \frac{\partial (ich D)}{\partial T}

$i\nabla\cdot B=\nabla\cdot(iB)=0,\hspace{1cm} \text{and}\hspace{1cm}\nabla\times (iH)=\frac{\partial( iD)}{\partial t}$ Die wichtigste Beobachtung ist, dass die Divergenz und die Kräuselung keine realen und imaginären Komponenten mischen. Jetzt summieren wir die Gleichungen einfach paarweise, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten:

\nabla \cdot (D + ich B) = 0

$\nabla \cdot (D +iB) =0$

\nabla \times (E + ich H) = \frac{\partial}{\partial T} (ich D - B) = ich \frac{\partial}{\partial T} (D + ich B)

$\nabla \times (E +iH) = \frac{\partial}{\partial t} (iD-B)=i\frac{\partial}{\partial t}(D+iB)$ Beachten Sie, dass diese beiden Gleichungen den Maxwell-Gleichungen entsprechen : Da die Ableitungen die Real- und Imaginärteile nicht mischen, müssen sie unabhängig voneinander verschwinden.

danke für deine nette antwort. Eine Frage habe ich allerdings, warum sollte man das tun? Ich meine, warum diese beiden Gleichungen miteinander kombinieren? Und warum haben wir die imaginäre Zahl "i" verwendet? Steckt dahinter irgendeine physikalische Interpretation?
@Fluktuationen Sie sollten die Zeitung weiter lesen, um herauszufinden, warum man dies tun würde ...

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Schwankungen

Holograph

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Danu

Schwankungen

Danu

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