Warum enthalten die Maxwell-Gleichungen jeweils eine Skalar-, Vektor-, Pseudovektor- und Pseudoskalar-Gleichung?

Die Maxwell-Gleichungen sind in Differentialform

{ ∇ → ⋅ E → =   ρ / ϵ 0 , ∇ → × B →   =   μ 0 J → + ϵ 0 μ 0 ∂ E → ∂ t , ∇ → × E →   = − ∂ B → ∂ t , ∇ → ⋅ B →   =   0 ,

die jeweils Skalar-, Vektor-, Pseudovektor- und Pseudoskalar-Gleichungen sind. Ist dies ein reiner Zufall oder gibt es einen tieferen Grund dafür, eine von jeder Art von Gleichung zu haben?

Wenn ich mich nicht irre, entsprechen diese Objekte den Reihen von Differentialformen auf einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit (oder es kann zumindest eine Entsprechung damit hergestellt werden), daher denke ich, dass es einen Zusammenhang mit der Formulierung von Maxwells Gleichungen geben könnte in Bezug auf Differentialformen . Wenn dies der Fall ist, gibt es einen zugrunde liegenden physikalischen Grund dafür, dass sich unser Ausdruck der Gleichungen mit einer Gleichung von jedem Rang herausstellt, oder ist es eine rein mathematische Sache?

Als letzte Anmerkung könnte ich auch völlig falsch liegen, was den Rang jeder Gleichung betrifft. Ich gehe auf den Inhalt der rechten Seite ein. (z. B. wäre eine "magnetische Ladungsdichte" pseudoskalar.)

Ist es aber nicht ρ die Zeitkomponente eines Vierstroms und nicht eines Skalars?
@twistor59: Ja, aber in Bezug auf 3D-Rotationen/Reflexionen im selben Referenzrahmen ist es ein Skalar.
@VladimirKalitvianski Ah, richtig, ich verstehe. Sie können alle Gleichungen mit der Clifford-Algebra CL(1,3) zu einer Gleichung zusammenfassen. Ich frage mich, ob Sie das gewünschte Ergebnis erzielen können, indem Sie das irgendwie auf CL (3) reduzieren?
Die erste Gleichung (Divergenz von E) ist die Zeitkomponente der Raumzeit-Vektorgleichung, und die dritte Gleichung (Curl von E) hat den Zeitbasisvektor herausgerechnet.

Antworten (4)

Im 3-Raum kann man die 4-Maxwell-Gleichung so interpretieren, dass sie die Beziehung zwischen den Feldern (dem elektrischen Feldvektor und dem magnetischen Feldbivektor) und allen vier Arten möglicher Quellen bestimmt.

Aber das ist eher illusorisch. In der Relativitätstheorie sehen die Gleichungen ganz anders aus:

∇ ⋅ F = − μ 0 J ∇ ∧ F = 0

wo F ist der Bivektor des elektromagnetischen Feldes. Die Vektorableitung ∇ kann die Note eines Objekts nur um 1 erhöhen oder verringern. Seit F Klasse 2 ist, beschreibt die Divergenzgleichung ihre Beziehung zu einem Quellterm der Klasse 1 (der Vektor-Vierstrom J ). Die Curl-Gleichung beschreibt ihre Beziehung zu einem Quellterm des Grades 3 (Trivektor) (von dem es keinen gibt).

Der Grund, warum die 4 Maxwell-Gleichungen im 3-Raum so herauskommen wie wir, ist, dass wir den zeitähnlichen Basisvektor ignorieren, der die skalare Ladungsdichte mit dem 3-Strom als Vierstrom vereinheitlichen würde, sowie das E-Feld vereinheitlichen würde mit dem B-Feld als Bivektor. Die relativistische Formulierung ist jedoch erheblich sinnvoller, da sie das EM-Feld korrekt als ein Objekt einer einzigen Klasse (ein Bivektor) darstellt, das nur zwei Quellen haben kann (Vektor oder Trivektor). Es passiert einfach so, dass das EM-Feld keine Trivektorquelle hat.

Was wäre, wenn es Trivektorquellen gäbe? Nun, wie Sie beobachten, gäbe es eine magnetische Ladungsdichte (Monopole), aber es gäbe auch einiges mehr . Es müsste auch magnetischer Strom vorhanden sein, was einen zusätzlichen Term hinzufügen würde ∇ × E Gleichung, um die Dinge vollständig zu symmetrieren.

In der von David Hestenes entwickelten Multivektor-Formulierung des Elektromagnetismus gibt es nur eine Gleichung: ◻ F = J .

F und J sind Raum-Zeit-Objekte. F ist ein "Bivektor", eine antisymmetrische Entität 2. Ordnung, ziemlich genau wie das Übliche F μ v in der Relativität. Wenn man seine Raum- und Zeitteile getrennt betrachtet, hat es einen Vektorteil, E → (eigentlich ein Zeit-Raum-Bivektor) und ein axialer Vektorteil B → (eigentlich ein Raum-Raum-Bivektor). J ist ein Vierervektor, der natürlich in der Raum + Zeit-Ansicht eine skalare Ladungsdichte plus eine vektorielle Stromdichte ist.

Wenn wir in der Multivektoralgebra zwei Vektoren multiplizieren, ist das Ergebnis die Summe der inneren (Punkt) und äußeren (Kreuz) Produkte, wodurch eine Entität mit einem Skalarteil und einem Bivektorteil entsteht. Sie erhalten zwei Gleichungen in Dreiraum + Zeit zum Preis einer Multivektorgleichung in Raumzeit. Das ◻ Der Differentialoperator gilt so und macht eine Divergenz und ein Kreuzprodukt. Die beiden Teile von F und die zwei Möglichkeiten der Bewerbung ◻ ergeben vier Gleichungen, die bekannten Maxwell-Gleichungen.

Dies mag für jemanden, der damit nicht vertraut ist, wie Kauderwelsch erscheinen. Es ist eine Form der Clifford-Algebra. Buch: Space-Time Algebra von David Hestenes, Gordon and Breach 1966. Er hat zahlreiche Artikel in wissenschaftlichen Zeitschriften, die ich jetzt nicht nachschlagen kann.

Ich denke, zu diesem Zeitpunkt verwendet sogar Hestenes del anstelle von box für diesen Zweck. Es ist auch eine Vorzeichenkonvention (sowie das Festlegen der Durchlässigkeit auf 1) erforderlich.
Seine Notation und Art, Dinge zu beschreiben, könnten sich im Laufe der Jahre geändert haben. 1966 ist zwar schon eine Weile her, aber die einzige Referenz, die ich im Moment physisch zur Hand habe.

Dafür gibt es in der Tat einen Grund. Lassen Sie uns zunächst die Maxwell-Gleichungen in die Sprache der Differentialformen im euklidischen 3-Raum ( nicht der Minkowski-Raumzeit) übersetzen:

d B = 0 d E + ∂ B ∂ t = 0 ⋆ d ⋆ E = ρ ⋆ d ⋆ B − ∂ E ∂ t = J
in Bezug auf die elektrische 1-Form E und magnetische 2-Form B .

Der Vorteil besteht darin, dass die äußere Algebra abgestuft ist und wir diese Gleichungen zu einer einzigen kombinieren können, ohne dass sich die Terme der vier Gleichungen stören.

Vorfaktoren (insbesondere Vorzeichen) können wir frei wählen. Die interessanten Kombinationen, die mir einfallen könnten, sind

( ⋆ d ⋆ − d − ∂ ∂ t ) ( E + B ) = ρ + J
und
( ⋆ d ⋆ − d + ∂ ∂ t ) ( E − B ) = ρ − J
die mehr oder weniger den kombinierten Maxwell-Gleichungen in Bivektor- und 2-Form-Darstellung entsprechen. Ersteres könnte geschrieben werden als
D F = J
in Bezug auf die geometrische Algebra und letzteres als
( δ + d ) F = J
in Bezug auf differentielle Formen und codifferential δ , sowohl zur Minkowski-Raumzeit als auch mit Definitionen von F und J passend zum gewählten Formalismus.

Im Grunde täuschen wir also relativistische Beziehungen auf der Grundlage der euklidischen Geometrie vor. Zum Beispiel die unveränderliche Länge des '4-Vektors' ρ + J kann in der äußeren Algebra als ausgedrückt werden

( ρ + J ) ∧ ⋆ ( ρ − J ) = ⋆ ( ρ 2 − ⟨ J , J ⟩ )

Gibt es Lehrbücher, die Sie zum Erlernen von E&M aus einer differentiellen Formperspektive empfehlen würden?

Das ist nicht ganz zufällig. Bei der kovarianten (relativistischen Raum-Zeit-)Formulierung werden die Skalar- und Vektorgleichungen (die Gleichungen mit einem Quellterm) zu einer Raum-Zeit-Tensorgleichung kombiniert, ebenso wie die Pseudovektor- und Pseudoskalargleichungen (die quellenfreien Gleichungen).

Warum enthalten die Maxwell-Gleichungen jeweils eine Skalar-, Vektor-, Pseudovektor- und Pseudoskalar-Gleichung?
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