Erweiterung der Maxwell-Gleichungen von der flachen Raumzeit auf die gekrümmte Raumzeit

Question

Erweiterung der Maxwell-Gleichungen von der flachen Raumzeit auf die gekrümmte Raumzeit

JG123

Angenommen, wir arbeiten an einer Minkowski- (dh flachen) Raumzeit.

Lassen $A^{\mu} = ( \phi/c, \textbf{A})$ sei der kontravariante potentielle Vierervektor. Dann wird eine kovariante Minkowski-Metrik von angenommen $\eta_{\mu \nu} = \textrm{diag}[+, -, -, -]$ , wir haben das $A_{\mu} = ( \phi/c, -\textbf{A})$ ist der kovariante Potential-Vier-Vektor.

Das haben wir auch $\alpha = A_{\mu} dx^{\mu}$ ist die potentielle Eins-Form.

Wir definieren dann $F = d\alpha = \frac{1}{2} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) dx^\mu \wedge dx^\nu$ die elektromagnetische Zwei-Form sein.

Nun lass $J^{\mu} = (c\rho, \textbf{J})$ sei der kontravariante aktuelle Vierervektor.

Dann, $J = \frac{1}{6} J^\mu \epsilon_{\mu \alpha \beta \gamma}dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma$ ist die aktuelle Dreierform.

Mit diesen Definitionen werden die Maxwell-Gleichungen

D F = 0 (ich)

$\begin{equation} dF = 0 \; \; \; (\textrm{i}) \end{equation}$

D (* F) = J (ii)

$\begin{equation} d(*F) = J \; \; \; (\textrm{ii}) \end{equation}$

(Erinnere dich daran $*$ ist der Hodge Star-Operator).

Um nun diese Maxwell-Gleichungen auf eine gekrümmte Raumzeit auszudehnen , scheint es, dass wir die aktuelle Dreierform ändern müssen:

J = \frac{1}{6} \sqrt{| G |} J^{μ} ϵ_{μ a β γ} D X^{a} \land D X^{β} \land D X^{γ} (iii)

$\begin{equation} J = \frac{1}{6} \sqrt{|g|} J^\mu \epsilon_{\mu \alpha \beta \gamma}dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma \; \; \; (\textrm{iii}) \end{equation}$

Hier, $\sqrt{|g|}$ ist die Quadratwurzel des Absolutwerts der Determinante der kovarianten Metrik auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit, mit der gearbeitet wird.

Mit dieser neuen Definition von $J$ , sind die Maxwell-Gleichungen nur die Gleichungen (i) und (ii).

Meine Frage ist folgende. Warum wird die aktuelle Dreierform einfach so modifiziert, dass sie die "natürliche" pseudo-riemannsche Volumenform enthält? $\sqrt{|g|} dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma$ uns erlauben, die flache Raumzeitformulierung der Maxwellschen Gleichungen in gekrümmter Raumzeit zu verwenden?

G. Smith

Ihr gekrümmter Raumzeitausdruck für

J

$J$ reduziert sich nicht auf deinen Ausdruck in der flachen Raumzeit. Es hat auch nicht die gleichen Abmessungen. Also stimmt etwas nicht.

JG123

@ G. Smith Ist es das

\frac{4 π}{c}

$\frac{4\pi}{c}$ das macht probleme?

G. Smith

Ja, das hält sie davon ab, in der flachen Raumzeitgrenze gleich zu sein, und gibt ihnen unterschiedliche Dimensionen.

G. Smith

Die Frage hier bezieht sich wirklich auf die Verallgemeinerung des Levi-Civita-Tensors auf die gekrümmte Raumzeit, nicht auf die Stromdichte. Siehe Wikipedia .

G. Smith

Wenn Sie auf gekrümmte Raumzeit verallgemeinern, nehmen Sie die einfachste allgemein kovariante Gleichung, die sich in flacher Raumzeit auf die bekannte flache Raumzeitgleichung reduziert.

G. Smith

Es ist denkbar, dass es zusätzliche Terme gibt, die Krümmungstensoren beinhalten, aber die einfachste Vorschrift besteht darin, die Dinge auf einer Mannigfaltigkeit allgemein kovariant zu machen, ohne Krümmungsterme hinzuzufügen. In der Indexnotation ersetzen Sie beispielsweise Ableitungen einfach durch kovariante Ableitungen. In der Formnotation verwenden Sie die natürliche Volumenform und die äußere Ableitung oder was auch immer

d

$d$ wird genannt. (Entschuldigung, ich habe dieses Zeug vor langer Zeit gelernt, indem ich Indexnotation anstelle von Differenzialformen verwendet habe.)

JG123

@ G. Smith Ich sehe die Logik darin, "die einfachste allgemein kovariante Gleichung zu nehmen, die sich in flacher Raumzeit auf die bekannte flache Raumzeitgleichung reduziert". Natürlich erfüllt die oben angegebene gekrümmte Raumzeitformulierung dieses Kriterium (wie

\sqrt{| g |} = 1

$\sqrt{|g|} = 1$ für den Minkowski-Raum). Ich denke, meine nächste Frage ist die folgende. Woher wissen wir, dass diese Raumzeit-Formulierung richtig ist?

G. Smith

Ich bin mir nicht sicher, wie viele experimentelle Beweise wir derzeit haben, dass dieses Rezept korrekt ist. Zusätzliche Terme mit Krümmung wären nur in der Nähe von Schwarzen Löchern, Neutronensternen usw. von Bedeutung. Feldtheorien in gekrümmter Raumzeit sind meines Wissens an dieser Stelle eher von theoretischem Interesse als von experimenteller Realität. Occam's Razor ist die beste Begründung für das minimalistische Rezept.

Umaxo

@G.Smith, Würden zusätzliche Begriffe nicht bedeuten, dass Licht aufgrund der Krümmung gestreut werden könnte? Und da wir Licht in 13 Milliarden Lichtjahren Entfernung beobachten können, sollte das, denke ich, eine nette Obergrenze für die Kopplung zwischen EM und Gravitationsfeldern bilden.

G. Smith

@Umaxo Gute Frage. Was Sie vorschlagen, scheint plausibel, aber ich bin mir nicht sicher.

Antworten (2)

Erweiterung der Maxwell-Gleichungen von der flachen Raumzeit auf die gekrümmte Raumzeit

Ihr gekrümmter Raumzeitausdruck für $J$ reduziert sich nicht auf deinen Ausdruck in der flachen Raumzeit. Es hat auch nicht die gleichen Abmessungen. Also stimmt etwas nicht.
Ja, das hält sie davon ab, in der flachen Raumzeitgrenze gleich zu sein, und gibt ihnen unterschiedliche Dimensionen.
Die Frage hier bezieht sich wirklich auf die Verallgemeinerung des Levi-Civita-Tensors auf die gekrümmte Raumzeit, nicht auf die Stromdichte. Siehe Wikipedia .
Wenn Sie auf gekrümmte Raumzeit verallgemeinern, nehmen Sie die einfachste allgemein kovariante Gleichung, die sich in flacher Raumzeit auf die bekannte flache Raumzeitgleichung reduziert.
Es ist denkbar, dass es zusätzliche Terme gibt, die Krümmungstensoren beinhalten, aber die einfachste Vorschrift besteht darin, die Dinge auf einer Mannigfaltigkeit allgemein kovariant zu machen, ohne Krümmungsterme hinzuzufügen. In der Indexnotation ersetzen Sie beispielsweise Ableitungen einfach durch kovariante Ableitungen. In der Formnotation verwenden Sie die natürliche Volumenform und die äußere Ableitung oder was auch immer $d$ wird genannt. (Entschuldigung, ich habe dieses Zeug vor langer Zeit gelernt, indem ich Indexnotation anstelle von Differenzialformen verwendet habe.)
@ G. Smith Ich sehe die Logik darin, "die einfachste allgemein kovariante Gleichung zu nehmen, die sich in flacher Raumzeit auf die bekannte flache Raumzeitgleichung reduziert". Natürlich erfüllt die oben angegebene gekrümmte Raumzeitformulierung dieses Kriterium (wie $\sqrt{|g|} = 1$ für den Minkowski-Raum). Ich denke, meine nächste Frage ist die folgende. Woher wissen wir, dass diese Raumzeit-Formulierung richtig ist?
Ich bin mir nicht sicher, wie viele experimentelle Beweise wir derzeit haben, dass dieses Rezept korrekt ist. Zusätzliche Terme mit Krümmung wären nur in der Nähe von Schwarzen Löchern, Neutronensternen usw. von Bedeutung. Feldtheorien in gekrümmter Raumzeit sind meines Wissens an dieser Stelle eher von theoretischem Interesse als von experimenteller Realität. Occam's Razor ist die beste Begründung für das minimalistische Rezept.
@G.Smith, Würden zusätzliche Begriffe nicht bedeuten, dass Licht aufgrund der Krümmung gestreut werden könnte? Und da wir Licht in 13 Milliarden Lichtjahren Entfernung beobachten können, sollte das, denke ich, eine nette Obergrenze für die Kopplung zwischen EM und Gravitationsfeldern bilden.
@Umaxo Gute Frage. Was Sie vorschlagen, scheint plausibel, aber ich bin mir nicht sicher.

Leere · Answer 1

Die Idee, Gesetze auf die gekrümmte Raumzeit zu verallgemeinern, besteht darin, zu bemerken, dass wir selbst tatsächlich in einer gekrümmten Raumzeit leben. Was wir als "flache Raum-Zeit-Gleichungen" kennen, sind tatsächlich Gleichungen in gekrümmter Raum-Zeit, die in unserem lokalen (fast) Trägheitsrahmen abgeleitet/entdeckt wurden. Wir können dann ihre krummlinige Form ableiten, indem wir sie einfach in einen allgemeinen Rahmen umwandeln. Dies geschieht hauptsächlich dadurch, dass jede Verwendung der Minkowski-Metrikstruktur durch eine allgemeine pseudo-riemannsche Struktur ersetzt wird.

Speziell bei Maxwell-Gleichungen ist die Differentialgeometrieform bereits nahezu kovariant. Beachten Sie jedoch, dass Sie an zwei Punkten eine metrische Struktur verwenden, und beide können so charakterisiert werden, dass sie das Hodge-Dual verwenden . Ich verwende eine Definition eines Hodge-Duals, von der ich abkomme $\Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M}$ Zu $\Lambda^{(n-k)}T^{*}\!\mathcal{M}$ , Wo $n$ ist die Dimension der Mannigfaltigkeit $\mathcal{M}$ (Dies ist anders als die auf der Wikipedia-Seite verwendete Definition). Der praktischste Weg, dieses Hodge-Dual für jede Form zu definieren $\alpha \in \Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M}$ ist das zu verlangen

(* a) \land β = β (a^{# k}) ω, \forall β \in Λ^{k} T^{*} M,

$(*\alpha) \wedge \beta = \beta(\alpha^{\#k}) \omega, \forall \beta \in \Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M},$ Wo

α^{# k} \in T^{k} M

$\alpha^{\#k}\in T^k\! \mathcal{M}$ erhält man durch Erhöhen aller Indizes von

α

$\alpha$ , Und

ω

$\omega$ ist die pseudo-riemannsche Volumenform

ω = \sqrt{| g |} d x^{1} \land . . . \land d x^{n}

$\omega = \sqrt{|g|} \mathrm{d}x^1\wedge...\wedge \mathrm{d}x^n$ (beachten Sie, dass

\sqrt{| η |} = 1

$\sqrt{|\eta|} = 1$ in kartesischen/Minkowski-Koordinaten und darauf sind wir spezialisiert

n = 4

$n=4$ ). Jetzt können Sie sehen, dass das Hodge-Dual erhalten werden kann, indem Sie das Volumenformular zusammenziehen

ω

$\omega$ mit

α^{# k}

$\alpha^{\#k}$ .

Zurück zu den Maxwell-Gleichungen. Was Sie die aktuelle 3-Form nennen, ist tatsächlich das Hodge-Dual der aktuellen 1-Form $j = j_\mu \mathrm{d}x^\mu, J = *j$ . In Ihrer Erklärung verwenden Sie die Erzeugung des Duals durch Kontraktion mit der Volumenform, die normalerweise als angegeben würde

J \equiv * J = ω (J^{#}, \cdot, \cdot, \cdot) = ι_{J^{#}} ω = \frac{1}{3!} J_{μ} G^{μ v} \sqrt{| G |} ϵ_{v λ κ γ} D X^{λ} \land D X^{κ} \land D X^{γ}

$J \equiv *j = \omega (j^{\#},\cdot,\cdot,\cdot) = \iota_{j^{\#}}\omega = \frac{1}{3!} j_\mu g^{\mu\nu} \sqrt{|g|}\epsilon_{\nu\lambda\kappa\gamma} \mathrm{d}x^\lambda\wedge\mathrm{d}x^\kappa\wedge\mathrm{d}x^\gamma$ Hier können Sie sich identifizieren

j^{#} \equiv j_{μ} g^{μ ν} \partial_{ν} = J^{ν} \partial_{ν}

$j^\# \equiv j_\mu g^{\mu\nu} \partial_\nu = J^\nu \partial_\nu$ als Ihren aktuellen Vektor (beachten Sie jedoch, dass auf metrischen Mannigfaltigkeiten Objekte mit erhöhten und verringerten Indizes als identische Objekte betrachtet werden, die auf unterschiedliche Weise ausgedrückt werden).

Zusammenfassend lautet die kovariante Aussage der Maxwell-Gleichungen

D F = 0,

$\mathrm{d}F = 0\,,$

D (* F) = * J,

$\mathrm{d}(*F) = *j\,,$ wobei man bedenken muss, dass das Hodge-Dual nun durch die allgemeine Metrik erzeugt wird

g

$g$ . Die letzte Zeile wird tatsächlich sehr oft als geschrieben

* [d (* F)] = j

$*[\mathrm{d}(*F)] = j$ (was dem obigen entspricht, da der Hodge-Stern ein Dual ist ).

Beachten Sie, dass dies den Hodge-Stern als eine Karte von behandelt $\bigwedge^k TM \to \bigwedge^{n−k} T^*M$ anstatt $\bigwedge^k T^*M \to \bigwedge^{n−k} T^*M$ . Ich glaube auch an den Faktor $\frac1{3!}$ ist unnötig. Mit der letzteren Konvention und vorausgesetzt, ich habe Recht mit der Fakultät, hätten wir $J = \star(j^\flat)=\star(\iota_j\,g) = \iota_j\,\omega$ .
Stimmt, danke. Es würde keinen Sinn machen zu schreiben $d(*F)$ so was. Und die verschiedenen Faktoren $1/n!,...$ erscheinen nur für Koordinatenkomponenten, stimmt (abstrakte Indizes sind meine übliche Giftwahl).
@ Void Vielleicht könntest du die Operationen klären, die in dem Ausdruck vorkommen: " $\beta (\alpha^{k}) \omega$ "
@JG123 Es ist eine Kontraktion ( $\beta$ ist eine k-Form und $\alpha^{\#k}$ ist ein k-Vektor).
@ Void Warum funktioniert die innere Ableitung von $\omega$ , $\iota_{j ^{\#}} \omega$ , gleich dem Hodge-Dual der aktuellen 1-Form?
@ JG123 Noch einmal, das ist eine Frage der Notation, $\iota_{j^{\#}} \omega$ ist eine Kontraktion von $j^{\#}$ hinein $\omega$ . Ich habe das Gefühl, dass der Abstract-Index-Formalismus viel transparenter ist, sobald Sie über elementare Berechnungen hinausgehen, aber Ihr ursprünglicher Beitrag verwendete die "indexfreie" Notation ...
@Void Danke für die Hilfe! Die mathematische Perspektive, die hier gegeben wird, hat mir ziemlich geholfen.

Christoph · Answer 2

Christoph

Das hat per se nichts mit Relativitätstheorie oder Krümmung zu tun: Der Faktor von $\sqrt{|g|}$ kommt aus einem ähnlichen Grund, dass die Determinante der Jacobi-Zahl in der Substitutionsformel für die Integration mehrerer Variablen auftaucht : Beim Integrieren müssen Sie das Volumen der Einheitszelle berücksichtigen, die von Ihrem Koordinatenrahmen überspannt wird. Wenn Sie also generische krummlinige Koordinaten anstelle von pseudo-euklidischen verwenden, müssen Sie sie auch zum Ausdruck für die Minkowski-Raumzeit hinzufügen.

JG123

@ Christoph Also das

\sqrt{| g |}

$\sqrt{|g|}$ Begriff ist nur die Berücksichtigung einer Änderung der Koordinaten?

Christoph

Ja. Im Wesentlichen müssen Sie bei der Integration das Volumen der Einheitszelle berücksichtigen, die von Ihrem Koordinatenrahmen überspannt wird. Es wird etwas verwirrend, weil es verschiedene Möglichkeiten gibt, diesen speziellen Kuchen der Definition messbarer Größen aufzuteilen - betrachten Sie zB den Skalar

ρ

$\rho$ gegen die skalare Dichte

r = ρ \sqrt{| g |}

$\mathfrak{r}=\rho\sqrt{|g|}$ gegenüber der Volumenform

ω = ρ \sqrt{| g |} d x^{1} \land \dots \land d x^{n}

$\omega = \rho\sqrt{|g|} dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ vs. Volumenelement/Pseudoform

| ω | = ρ \sqrt{| g |} d^{n} x

$|\omega| = \rho\sqrt{|g|}d^nx$

Erweiterung der Maxwell-Gleichungen von der flachen Raumzeit auf die gekrümmte Raumzeit

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