Maxwellsche Gleichungen mit Differentialformen

Ihr Problem ist, dass Sie die Relativitätstheorie nicht berücksichtigt haben:

Im Minkowski-Raum unterscheidet sich die Beziehung zwischen äußeren Ableitungen und klassischen Vektoroperatoren von der im euklidischen 3-Raum und$E$und$B$sich tatsächlich als Bestandteile einer einzigen 2-Form erweisen$F$(was notwendig ist, um die korrekten Transformationsgesetze unter Boosts zu erhalten).

Da ich faul bin, werde ich rückwärts arbeiten${\rm d}F$und${\rm d}\star F$.

Erstens kann der elektromagnetische Tensor zerlegt werden in

$$F = \sum_i E_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i - \star\sum_i B_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i$$ Ich vermute ein $(+---)$Konvention für die Minkowski-Metrik. Bitte beachten Sie, dass das obige Zeichen möglicherweise falsch ist - ich weiß, dass ich irgendwo etwas vermasselt habe (ich habe mit a begonnen $+$in die obige Formel eingefügt und 'korrigiert', nachdem ich das falsche Ergebnis erhalten habe), daher könnte es eine gute Idee für jemanden sein, diese Berechnungen zu überprüfen und meine Antwort zu korrigieren, wenn sie falsch sind.

Die äußere Ableitung auf 2-Formen kann geschrieben werden als

$$\begin{align*} {\rm d}\sum_i A_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i &= \star\sum_i (\nabla\times A)_i\,{\rm d}x^i \\ {\rm d}\star\sum_i A_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i &= -\star(\nabla\cdot A\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial A_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) \end{align*}$$ und wir kommen an $$\begin{align*} {\rm d}F &= \star\sum_i (\nabla\times E)_i\,{\rm d}x^i + \star(\nabla\cdot B\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial B_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) \\&= \star\sum_i ( \nabla\times E + \frac{\partial B}{\partial t} )_i\,{\rm d}x^i + \star\nabla\cdot B\,{\rm d}t \\ {\rm d}\star F &= {\rm d}\left( \star\sum_i E_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i + \sum_i B_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i \right) \\&= -\star(\nabla\cdot E\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial E_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) + \star\sum_i (\nabla\times B)_i\,{\rm d}x^i \\&= \star\sum_i ( \nabla\times B - \frac{\partial E}{\partial t} )_i\,{\rm d}x^i - \star\nabla\cdot E\,{\rm d}t \end{align*}$$ woraus wir die linken Seiten der Maxwell-Gleichungen erhalten, indem wir die Raum- und Zeitkomponenten getrennt betrachten.

Die Maxwell-Gleichungen stammen aus 1. Bewegungsgleichungen der elektromagnetischen Wirkung 2. Zweite Bianchi-Identität.

Genau das finden Sie woanders

1) Die Lösung von Maxwell Lagrange ist

$$-\partial _\mu F^{\mu \nu} = J^{\nu} \quad (1)$$ Was impliziert $$\mapsto \begin{cases} \nabla \times B - \frac{\partial{E}}{\partial{t}}=\vec j \\ \nabla \cdot E =q \end{cases}$$ 2) Die zweite Bianchi-Identität $$\partial_{\alpha} F_{\beta \gamma} + \partial_{\beta} F_{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma} F_{\alpha \beta} =0 .\quad (2)$$ impliziert $$\mapsto \begin{cases} \nabla \cdot B = 0 \\ \nabla \times E + \frac{\partial{B}}{\partial{t}}=0 \end{cases}$$ Sie können (1) und (2) in die Differentialform übersetzen. Aber ich werde eine formellere Methode versuchen, indem ich mit der Aktion beginne.

Die EM-Aktion ist

$${\mathcal{L}}_{\mathtt{Maxwell}} \equiv -(1/4)F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} +A_{\mu} J^{\mu}.\quad\quad (3)$$ übersetzen in die differentielle Form liest $$S_{\mathrm{Maxw}}=\int_{\mathcal{M}}\left(- \frac{1}{2} F \wedge \star F -A \wedge \star J\right),\quad \quad (4)$$ So $$\begin{split} \delta_{A} S_{\mathrm{Maxw}}=\int_{\mathcal{M}}\left(- \mathrm{d}(\delta A) \wedge \star F -\delta A \wedge \star J\right),\\ 0=\int_{\mathcal{M}}\left(- (\delta A) \wedge \star\bar {\mathrm{d}} F -\delta A \wedge \star J\right),\\ \Longrightarrow -\bar {\mathrm{d}}F =J. \\ \boxed{ -\star \mathrm{d} \star F = J }\\ - \mathrm{d} \star F = \star J \Longrightarrow -\partial_{\mu} F^{\mu \nu} = J^{\nu}\end{split}$$

wo$\bar {\mathrm{d}}$ist in diesem Fall eine Co-Differenzierung$\bar{\mathrm{d}}= \star \mathrm{d} \star$

Als nächstes liest der Faraday-Tensor in Differentialform

$$F=\mathrm d A$$ Also offensichtlich $$\mathrm d F =\mathrm d ^2 A =0.$$ Dies ist auch eine zweite Bianchi-Identität, und die Erweiterung in lokaler Koordinatenform ergibt offensichtlich Gleichung (2) und somit eine weitere Maxmell-Gleichung.

Abschließend liest sich die Maxwell-Gleichung in Form von Differentialform

$$\boxed{ - \mathrm{d} \star F = \star J,\quad\quad \mathrm{d}F=0 }$$

Hinweis : Nützlich zur Überprüfung Ihrer Berechnungen

$$F^{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} {0} & { E_x} & {E_y} &{ E_z} \\ {-E_x} & {0} &{ B_z} &{ -B_y} \\ {-E_y} & {-B_z} &{ 0} &{ B_x} \\ {-E_z} & {B_y }& {-B_x }& {0} \end{matrix} \right)$$

$$F=\frac 1 2 F_{\mu\nu}dx^\mu \wedge dx^\nu$$ $$A^\mu=(q,\vec j)$$ $$F \wedge \star F =\frac{1}{2}F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} {\mathrm{d}}^{4}x (=-(E^2 -B^2)).$$ $$A \wedge \star J =-A_{\mu}J^{\mu}{\mathrm{d}}^{4}x,$$ $$\begin{split} \mathrm{d} \left( \alpha \wedge \star \beta \right) =: \mathrm{d}\alpha \wedge \star \beta - \alpha \wedge \star \bar{\mathrm{d}} \beta \\ \bar{\mathrm{d}} = -(-1)^{np-n+s}\star \mathrm{d} \star \\ (-1)^{s} = \begin{cases} -1 &\text{if Lorentzian } \\ 1 &\text{if Euclidean} \end{cases} \\ \text{ $\beta$ is a p-form}\\ sgn = \text{sign (of $(-1)^N$)} \\ n = N+P\\ \text{Signature} = P-N \\ \text{indeed} &(-1)^{s} := (-1)^{N} = sgn(g)&\\ \end{split}$$ Um Ihre Grundkenntnisse in äußerer Algebra zu überprüfen , müssen Sie das verstehen $$J=J_\mu dx^\mu \longrightarrow \star J = \frac{1}{3!}(\frac 1 1 \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}J^\mu)dx^\nu \wedge dx^\alpha \wedge dx^\beta$$

Definiere ein 4-Potenzial$A_\mu$. Dann kannst du die 1-Form bilden$A = A_\mu dx^\mu$. Die Feldstärke ist dann$F = dA = \frac{1}{2} F_{\mu\nu} dx^\mu \wedge dx^\nu$. Also eigentlich$E$und$B$sind die Komponenten eines 2-Tensors.

Beachten Sie, dass dies impliziert$dF = d^2A = 0$, die Dinge wie geben$\nabla \cdot B = 0$.

Es gibt eine scheinbar übersehene und erwähnenswerte Antwort auf Ihre Frage: Ihre Intuition ist genau RICHTIG.

Die elektrische Feldstärke E ist eine 1-Form und die magnetische Flussdichte B ist eine 2-Form

$\nabla\times E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}$und$\nabla \cdot B=0$

Die Anregungsfelder, das Verschiebungsfeld D und die Magnetfeldstärke H, bilden jeweils eine 2-Form und eine 1-Form, was die verbleibenden Maxwell-Gleichungen wiedergibt:

$\nabla\times H=j+\dfrac{\partial D}{\partial t}$und$\nabla \cdot D=0$

Die vier Feldbeschreibungen D, H, E, B sind geometrisch verschieden, wobei D und E das Hodge-Dual zueinander sind (dasselbe gilt für H und B).

Obwohl Ihre Frage eine nicht-relativistische Antwort zu erfordern scheint, empfehle ich, irgendwann die Felder in der Raumzeit zu verstehen, wie sie von Cristoph et al. denn es ist ziemlich befriedigend zu sehen, wie alles zusammenkommt. Wie auch immer, bei der Beantwortung einer nicht verwandten Frage für jemanden bin ich auf diesen Link gestoßen, und ich denke, Sie finden ihn vielleicht nützlich: https://em.groups.et.byu.net/pdfs/ftext.pdf [Link: Elektromagnetik: Richard H Selfridge, David V. Arnold und Karl F. Warnick, 3. Januar 2002]

Da hasse ich (aus Gründen die ich nicht objektivieren kann ich gestehe) das$\star$Symbol, schlage ich im Folgenden vor, die Maxwell-Gleichungen aus der Definition der 2-Form zu rekonstruieren

$$F=E_{i}dx^{i}\wedge dt+B_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }$$ wo ich die Modulnotation einführe $\left\vert i\right\vert$so dass $\left\vert i+3\right\vert =\left\vert i\right\vert =i$. Griechische Indizes sind Raum-Zeit-Indizes, lateinische reichen nur über Raum-Indizes. Ich werde in seiner Antwort nichts anderes tun als Christoph , außer vielleicht für die Definition des Stroms, siehe unten.

Dann hat man

$$\text{d}F=-\dfrac{\partial E_{i}}{\partial x^{j}}dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dt+\dfrac{\partial B_{\left\vert i\right\vert }}{\partial x^{\left\vert i\right\vert }}dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial B_{\left\vert i\right\vert }}{\partial t}dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }\wedge dt$$

und somit

$$\text{d}F = \left(\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}+\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t}\right)dx\wedge dy\wedge dt+\left(\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z}+\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\right)dy\wedge dz\wedge dt + \left(\dfrac{\partial E_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x}+\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t}\right)dz\wedge dx\wedge dt+\mathbf{\nabla\cdot B}\text{vol}^{3}$$

mit offensichtlicher Änderung der Notationen und$\text{vol}^{3}=dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }=dx\wedge dy\wedge dz$für Band 3-Form.

Dann imposant$dF=0$führt zu den beiden Maxwell-Gleichungen

$$\mathbf{\nabla\cdot B}=0\text{ and }\mathbf{0}=\mathbf{\nabla\times E}+\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$ was somit als eine einzige Kontinuitätsgleichung für die angesehen werden kann $F$2-Form.

Da wir auferlegen$dF=0$, hat man vor Ort$F=dA$, mit der 1-Form$A=A_{\alpha}dx^{\alpha}$verifizieren

$$\mathbf{E}=\mathbf{\nabla}\varphi-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\text{ and }\mathbf{B}=\mathbf{\nabla\times A}$$

durch direkte Identifizierung der$dx^{i}\wedge dt$und die$dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }$sowohl$F$und$dA$. Jetzt kann man jede genaue Form hinzufügen$A\rightarrow A +d\chi$($\chi$ist konstruktionsbedingt eine 0-Form) unverändert$F=dA\rightarrow d\left(A+d\chi\right) =dA$

Dann natürlich auch nicht$E$Noch$B$ist eine Form, aber$F$ist eine 2-Form.

Man kann auch eine 3er-Form bilden

$$j=J_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }\wedge dt-\rho\text{vol}^{3}$$

die konserviert ist$dj=0$und damit lokal$j=dG$, mit$G$eine 2-Form, konstruktionsbedingt. Wir erkennen$j$wie der übliche Ladestrom, und wir bauen wollen$G$. Lassen Sie uns definieren

$$\gamma=\gamma_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\gamma_{i}^{0}dx^{i}\wedge dt$$

als die allgemeinste 2-Form in der Raumzeit. Die seltsame räumliche / zeitliche Trennung ist notwendig, da man nur einen Index dafür haben möchte$\gamma$. Sonst hätten wir einfach schreiben können$\gamma_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu}$. Beachten Sie, dass es das gleiche für war$F$. Dann berechnen wir

$$d\gamma=\dfrac{\partial\gamma_{\left\vert i\right\vert }}{\partial x^{\left\vert i\right\vert }}dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial\gamma_{\left\vert i\right\vert }}{\partial t}dt\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial\gamma_{i}^{0}}{\partial x^{j}}dx^{j}\wedge dx^{i}\wedge dt$$

oder wenn man Raum und Zeit noch einmal trennt, hat man

$$\mathbf{J}=\dfrac{\partial\mathbf{\gamma}}{\partial t}+\mathbf{\nabla\times\gamma}^{0}\text{ and }-\rho=\mathbf{\nabla\cdot\gamma}$$

wo wir den zweiten Satz von Maxwell-Gleichungen erkennen, wenn wir definieren

$$\mathbf{\gamma}=-\mathbf{D}\text{ and }\mathbf{\gamma}^{0}=\mathbf{H}$$

und – noch einmal – weder noch$H$Noch$D$ist eine Form, aber$\gamma$eine echte 2-Form ist, nennen Sie es

$$-G=D_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+H_{i}dt\wedge dx^{i}$$ wenn Sie wünschen. Der lustige Teil ist natürlich jeder Ersatz $G\rightarrow G+d\phi$( $\phi$ist eine 2-Form) wird die Gebühr nicht neu definieren $j=dG\rightarrow d\left(G+d\phi\right)=dG$.