Tensoren in der Physik

Einer meiner Professoren in Cornell sagte mir, möglicherweise beeinflusst von Anthony Zee, dass die Definition eines Tensors in der Physik ist

Ein Tensor ist alles, was sich wie ein Tensor transformiert.

Unsere ganze Klasse lachte, was ihn ärgerte, denn, wie er weiter betonte: Es ist nicht ganz rund. Sobald Sie wissen, wie sich ein Vektor unter einer Koordinatentransformation dreht (z. B. der Positionsvektor!), haben Sie diese Koordinatenänderungsmatrizen, und ein Tensor des entsprechenden Ranges ist alles, dessen Komponenten sich mit der entsprechenden Kombination von Koordinatenänderungsmatrizen transformieren. "Transformiert sich wie ein Tensor" ist also eine externe Definition, keine interne.

Ein Skalar ist ein (0, 0)-Tensor: Es ist eine beliebige Zahl (wirklich jede Zuordnung von Zahlen zu Punkten auf der Mannigfaltigkeit – im Allgemeinen meinen wir skalare „Felder“), die sich unter einer Koordinatentransformation nicht ändert.

In deinem Fall "fehlt" dir da anscheinend das$i=0$Komponente, sollten Sie wahrscheinlich nach einigen einfachen suchen$A^i$Und$\partial_i$ob die$i=0$Komponente zählt. Das finden Sie vielleicht$A^0 = \text{constant}$in Bezug auf die Zeit, und es wird sich dann herausstellen, dass Ihr Ausdruck tatsächlich immer ein Skalarfeld ist$A^\mu$ist ein Vektorfeld.

Tensoren in der Geometrie

Wie Sie sich vorstellen können, ist der obige, auf Koordinaten basierende Ausdruck im mathematischen Beruf der Differentialgeometrie höchst unbefriedigend. Es gibt eine großartige Notation namens abstrakte Indexnotation , die ihre koordinatenzentrischen Probleme löst.

Sehen Sie, die Physik-Definition ist eine „schwarze Liste“: Sie sagt: „Mach was du willst, und du wirst später herausfinden, ob es ein Tensor ist oder nicht, wie es sich verhält, wenn wir unsere Koordinaten ändern.“ Im Gegensatz dazu sind geometrische Definitionen eine "Whitelist": Sie sagen: "Wir werden mit guten Objekten und guten Operationen beginnen, und dann wird alles, was wir erstellen, gut sein."

Grundsätzlich definieren wir eine Reihe von Funktionen$\mathcal A \subseteq (\mathcal M \to \mathbb R)$als "Skalarfelder", wobei$\mathcal M$ist jeder Raum, an dem wir interessiert sind$\mathbb R^n$Eine einfache Wahl sind die glatten Felder$\mathcal A = C^\infty(\mathcal M, \mathbb R)$. Dann die Ableitungen weiter$\mathcal A$einen Vektorraum bilden (normalerweise würdest du schreiben$v^\alpha \partial_\alpha$für eine Ableitung) und postulieren eine Metrik, die den Vektorraum mit seinem Dual isomorph macht. Mit einem metrischen Tensor und einem antisymmetrischen Tensor können wir dann in der Regel alle anderen Objekte aufbauen, die uns interessieren – Tensorfelder zum Beispiel.

Sie können diese Koordinaten dann bei Bedarf wieder einfügen, indem Sie sie anders markieren (z. B. durch Großschreibung oder Fettdruck oder Unterstreichen oder Striche/Punkte oder Wechseln zu/von griechischen Buchstaben...). Sie verwenden also so etwas wie die Covektoren$c^a_\alpha$,$a \in \{0, 1, \dots n-1\}$, einige zu drehen$v^\alpha$(ein Vektor) in seine$n$Komponenten$c^{a}_\alpha v^\alpha$.

Wenn Sie bei dieser Art von Kalkül (in einigen Koordinaten) teilweise einschränken

$$\phi = \sum_{a \in A} \partial_{a} A^{a}$$ und kommen somit zu einer reibungslosen Funktion aus $\mathcal M \to \mathbb R$, dann ist da diese glatte Funktion drin $\mathcal A$, es ist offensichtlich ein Skalarfeld , und jeder kann sich auf seine Existenz und Eigenschaften einigen: jemand anderes jedoch mit anderen Koordinaten $v^{\bar a} = \bar c_\alpha^{\bar a} v^a$wird nicht unbedingt zustimmen, dass es als dargestellt werden kann $\sum_{\bar a \in A'} \partial_{\bar a} A^{\bar a}$für jeden Satz $A'$.

Oder umgekehrt, in gekrümmten Mannigfaltigkeiten gibt es Nicht-Tensoren, sogenannte Christoffel-Symbole, die in der allgemeinen Relativitätstheorie wirklich nützlich sind; Sie können diesen Ansatz verwenden, um das Christoffel-Symbol eines beliebigen Referenzrahmens in einen Tensor umzuwandeln. Allerdings: nicht alle Referenzrahmen stimmen darin überein, dass der resultierende Christoffel-Tensor irgendeine Beziehung zu ihren eigenen Christoffel-Symbolen hat; es ist nicht "der" Christoffel-Tensor, sondern "ein" Christoffel-Tensor, der aus diesem speziellen Kontext abgeleitet wurde. In ähnlicher Weise geben wir in der speziellen Relativitätstheorie, wenn wir die 4-Geschwindigkeit nehmen, eindeutig den Referenzrahmen an, den die$dt$der Zeit wird als eigener Referenzrahmen des Partikels gemessen, so dass es sich um eine "Eigenzeit" handelt$d\tau$. Der resultierende Begriff ist in der Tat ein (1,0)-Tensor, weil wir explizit das Referenzsystem angegeben haben, aus dem wir die Zeitkoordinate stehlen.

Das ist nicht so schwierig: Ein Skalar ist etwas, das nur eine Zahl ist, und ein Lorentz-Skalar ist ein Skalar, der unter Lorentz-Transformationen invariant ist. Beispielsweise ist die Entfernung ein Skalar, aber kein Lorentz-Skalar, und ein richtiges Zeitintervall ist ein Skalar und ein Lorentz-Skalar.

Um herauszufinden, ob etwas ein Lorentz-Skalar ist, prüfen wir einfach, wie es sich unter einer Lorentz-Transformation transformiert. Für dein Beispiel:

$$\partial_i A^{i} \rightarrow \partial'_i A'^{i} = \rightarrow \Lambda_i{}^j \partial_j \Lambda^{i}{}_k A^{k} = \Lambda_i{}^j \Lambda^{i}{}_k \partial_j A^{k} = \delta^j{}_k \partial_j A^{k} = \partial_j A^{j}$$

und tatsächlich sind alle Skalarprodukte eines kovarianten und eines kontravarianten Vektors Lorentz-invariant. Um zu sehen, dass dies ein Skalar ist, schreiben Sie einfach$\partial_i A^{i}$in seinen Komponenten.

Eine Erklärung, was ein Tensor ist, finden Sie hier . Ein Lorentz-Tensor ist dann ein Tensor, der sich wie ein Tensor unter Lorentz-Transformationen transformiert:

$$T^{\mu_1\dots\mu_n}{}_{\nu_1\dots\nu_m}\rightarrow T'^{\mu_1\dots\mu_n}{}_{\nu_1\dots\nu_m} = \Lambda^{\mu_1}{}_{\lambda_1}\dots\Lambda^{\mu_n}{}_{\lambda_n} \Lambda_{\nu_1}{}^{\sigma_1}\dots\Lambda_{\nu_m}{}^{\sigma_m} T^{\lambda_1\dots\lambda_n}{}_{\sigma_1\dots\sigma_m}$$

hoffe das hilft.

Ich habe Mühe zu identifizieren, ob ein Skalar ein Lorentz-Skalar ist. Bsp.: ∂iAii∈1,2,3. Wie kann ich feststellen, ob dies ein Lorentz-Skalar ist oder nicht? Habe das gleiche Problem mit Tensoren. Wie unterscheide ich einen Tensor von einem Lorentz-Tensor?

Meinst du mit "Tensor" einen Tensor in drei Raumdimensionen? Dann ist ein Tensor niemals ein Lorentz-Tensor. Ein Lorentz-Tensor benötigt die vierten Komponenten, die in jeder Summe enthalten sein müssen, um einen Tensor niedrigeren Ranges zu erzeugen.