Faraday-Tensor, antisymmetrischer Rang zwei

Es ist wirklich einfach.

Verwenden Sie zunächst die Definition des Faraday-Tensors:$F_{\mu\nu}\equiv\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$, und schreiben Sie dann denselben Ausdruck auf, aber in einem anderen Inertialsystem, dh$F'^{\mu\nu}=\Lambda_{\ \alpha}^{\mu}\Lambda_{\ \beta}^{\nu}F^{\alpha\beta}$. Und mit der Eigenschaft des$\Lambda$Matrix:$\eta_{\alpha\beta}=\Lambda_{\ \alpha}^{\mu}\Lambda_{\ \beta}^{\nu}\eta_{\mu\nu}$, das kriegst du hin$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$, dh$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$ist eine Lorentz-invariante Größe. Um dies in Bezug auf die EM-Felder auszudrücken, sollten Sie dann den Matrixausdruck von verwenden$F^{\mu\nu}$: nehmen wir mal an$F$, in Bezug auf die EM-Felder. Und die Menge$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$ist in Matrixbegriffen die Spur der Matrix$FF^T$. dh

$$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}=Tr(FF^T)$$

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Nun wissen wir, dass das Intervall$s^2:=x_{\mu}x^{\mu}$muss Lorentz-invariant sein, mit anderen Worten, wenn$x'^{\mu}=\Lambda_{\ \nu}^{\mu}x^{\nu}$ist die Weltlinie eines Teilchens, gemessen von einem Trägheitsbeobachter, der sich mit Geschwindigkeit bewegt$\vec v=v \hat u_x$, Wo

$$\Lambda_{\ \nu}^{\mu}=\begin{pmatrix}\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

dann ist das festzuhalten

$$x_{\mu}'x'^{\mu}=x_{\mu}x^{\mu}$$ wo wir das wissen $x_{\mu}=\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$und die Metrik ist $$\eta_{\mu\nu}:=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)=:\eta^{\mu\nu}$$ dann haben wir das $$x_{\mu}'x'^{\mu}=\eta_{\mu\nu}x'^{\nu}x'^{\mu}$$ $$\eta_{\mu\nu}x'^{\nu}x'^{\mu}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}x^{\alpha}\Lambda_{\ \beta}^{\mu}x^{\beta}$$ $$\eta_{\alpha\beta}x'^{\alpha}x'^{\beta}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}\Lambda_{\ \beta}^{\mu}x^{\alpha}x^{\beta}$$ dh die Matrix $\Lambda$befriedigen muss

$$\eta_{\alpha\beta}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}\Lambda_{\ \beta}^{\mu} \qquad (1)$$

Dann mit (1),

$$F_{\mu\nu}=\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta}$$ Und $$F'^{\mu\nu}=\Lambda_{\ \sigma}^{\mu}\Lambda_{\ \rho}^{\nu}F^{\sigma\rho}$$ das werden wir zeigen $F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$(hier spielt die Reihenfolge keine Rolle wegen $F^{\mu\nu}$ist eigentlich ein Skalar, der $\mu,\nu$Bestandteil der Matrix $F$). Okay, dann haben wir das $$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F'^{\mu\nu}\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F'^{\alpha\beta}$$ $$=\Lambda_{\ \delta}^{\mu}\Lambda_{\ \varepsilon}^{\nu}F^{\delta\varepsilon}\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}\Lambda_{\ \sigma}^{\alpha}\Lambda_{\ \rho}^{\beta}F^{\sigma\rho}$$ $$=\left(\Lambda_{\ \delta}^{\mu}\Lambda_{\ \sigma}^{\alpha}\eta_{\mu\alpha}\right)\left(\Lambda_{\ \varepsilon}^{\nu}\Lambda_{\ \rho}^{\beta}\eta_{\nu\beta}\right)F^{\delta\varepsilon}F^{\sigma\rho}$$ $$\equiv\eta_{\delta\rho}\eta_{\varepsilon\sigma}F^{\delta\varepsilon}F^{\sigma\rho}\equiv F^{\delta\varepsilon}F_{\delta\varepsilon}$$ So $$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}= F^{\delta\varepsilon}F_{\delta\varepsilon}$$

Hier sind die Indizes Dummy (sie werden summiert), sodass sie nicht übereinstimmen müssen. Also abschließend die Menge$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$(oder$F{}_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$), wenn sie in einem beliebigen Inertialsystem gemessen wird, hätte sie den gleichen Wert, dh sie ist eine Lorentz-Invariante.

Zum Schluss schreibe ich den Teil der Berechnung auf$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$in Bezug auf die EM-Felder, aber vielleicht später. Weißt du, wegen der Zeit. Aber! Sie sollten diese Frage lesen, die ich vor ein paar Monaten auch gestellt habe, und hier ist die Antwort. Wenn Sie Fragen haben, fragen Sie uns natürlich.

Hier klicken: Berechnung der elektromagnetischen Invariante in Matrixform

$${\displaystyle{ F^{\mu \nu }=\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\mu \alpha }F^{\alpha \beta }\eta _{\beta \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$ $$F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2 \left[ {\vec E} {}^2 -\vec B{}^2 \right]$$