Transformation selbst-dualer und anti-selbst-dualer Tensoren und Irreduzibilität von Repräsentationen

Ich erarbeite Übung 2.5 vonMaggiores Buch . Ein Teil der Übung ist die folgende:

Verifizieren Sie, dass self-dual und anti-self-dual Tensoren irreduzible Darstellungen der (realen) Dimension drei der euklidischen Gruppe sind$SO(4)$, und überprüfen Sie, ob die sechsdimensionale Darstellung$A^{\mu\nu}$von$SO(4)$zerfällt in seine selbst-dualen und anti-selbst-dualen Teile.

Betrachten Sie einen Antisymmetrie-Tensor$A^{\mu\nu}$. Die selbstdualen Tensoren sind Tensoren, die erfüllen:

während das Anti-Selbst-Dual ist,

Ich könnte das zeigen (wenn es jemanden interessiert, kann ich die Berechnung stellen):

dh der Tensor$\tilde A'^{\mu\nu}$verwandelt sich auf die gleiche Weise$\tilde A^{\mu\nu}$A$SO(4)$Transformation. (Ähnlich für das Anti-Selbst-Dual). Mit anderen Worten, ein selbstdualer Tensor in einem bestimmten Rahmen ist ein (anti-)selbstdualer Tensor in einem "gedrehten" Rahmen. Der Autor behauptet dann in der Lösung:

Dies bedeutet, dass selbst-duale und anti-selbst-duale Tensoren irreduzible Darstellungen von sind$SO(4)$, und das im euklidischen Raum ein sechsdimensionaler reeller antisymmetrischer Tensor$A^{\mu\nu}$zerfällt in seine selbst-dualen und anti-selbst-dualen Teile.

Meine Frage ist: Warum stimmt das? Zu zeigen, dass sich Tensoren auf die gleiche Weise transformieren, bedeutet für mich nur, dass sie, wenn sie vor der Transformation irreduzible Repräsentationen waren, nach der Transformation weiterhin irreduzible Repräsentationen sind.

Wenn ich richtig liege, wie kann man das explizit zeigen$\bar A^{\mu\nu}$Und$\tilde A^{\mu\nu}$liefern irreduzible Darstellungen?

Danke.