Von der „Matrix“-Form zur „Komponenten“-Form (Tensor).

Nein, wie Sie sehen können, stimmen Ihre Indizes nicht überein. Sie müssen eine Gleichung der Form haben$A^\mu{}_\nu = B^\mu{}_\nu$.

Der richtige Weg ist es

$$\omega^\mu{}_\nu = - \eta^{\mu\rho} ( \omega^T)_\rho{}^\sigma \eta_{\sigma\nu}$$ Beachten Sie, dass die Indizes immer benachbart sind, da dies eine Matrixmultiplikation ist. Als nächstes verwenden wir $$( \omega^T)_\rho{}^\sigma = \omega^\sigma{}_\rho$$ Dann, $$\omega^\mu{}_\nu = - \eta^{\mu\rho} \omega^\sigma{}_\rho \eta_{\sigma\nu} = - \omega_\nu{}^\mu$$ Somit lautet die richtige Gleichung $$\omega^\mu{}_\nu + \omega_\nu{}^\mu = 0 .$$