Was habe ich bei der Ableitung des Faradayschen Induktionsgesetzes aus seiner offensichtlich kovarianten Form falsch gemacht?

EDIT: PROBLEM GELÖST

Ich bin mir sicher, dass dies einfach ein Fehler beim Erweitern von Tensorkomponenten meinerseits ist, aber ich habe Mühe, den Fehler zu entdecken - wo ist das Minuszeichen?

Indem die Gesetze des klassischen Elektromagnetismus (Maxwellsche Gleichungen) in offensichtlich kovarianter Form ausgedrückt werden – das heißt, in einer Form, die vollständig mit Tensortransformationen übereinstimmt – können zwei der Maxwellschen Gleichungen (Gaußsches Gesetz für Magnetismus und Faradaysches Induktionsgesetz) ausgedrückt werden durch die folgende Tensorgleichung:

∂ μ F ~ μ v = 0

Wo ∂ μ ist der Vier-Gradienten ( ∂ ∂ ( C T ) , ∇ → ) Und F ~ μ v ist die kontravariante Form des dualen Feldstärketensors (dualer elektromagnetischer Tensor). μ , v = 0 , 1 , 2 , 3 . Der Vollständigkeit halber habe ich die vollständige Matrix am Ende dargestellt und verwende durchgehend eine (+---)-Signatur.

Das Gauß'sche Gesetz für den Magnetismus kann leicht durch Auswertung realisiert werden

∂ ich F ~ ich 0 = 0

Wo ich = 1 , 2 , 3 .

Ebenso kann das Faradaysche Induktionsgesetz durch Auswertung realisiert werden

∂ μ F ~ μ ich = 0

wo liegt hier das problem. Wenn ich diese Tensorgleichung in ihre summierten Komponenten erweitere, erhalte ich Folgendes (ich bin ins Detail gegangen, um meine Argumentation richtig zu erklären (oder was eigentlich meine falsche Argumentation ist)), wo jede der vier Gleichungen entspricht jeder Wert von ich kann summiert werden, da sie alle gleich Null sind und die letzten drei Terme in Klammern den drei kartesischen Komponenten der Locke entsprechen:

− 1 C ( ∂ B X ∂ T + ∂ B j ∂ T + ∂ B z ∂ T ) + 1 C ( ∂ E j ∂ z − ∂ E z ∂ j ) + 1 C ( ∂ E z ∂ X − ∂ E X ∂ z ) + 1 C ( ∂ E X ∂ j − ∂ E j ∂ X ) = 0

wobei die letzten drei in Klammern stehenden Begriffe die sind X , j Und z Bestandteile der Locke der E -Feld, ∇ → × E → .

Jetzt kommen wir endlich zu meinem Problem. Wo habe ich in dieser Gleichung einen Fehler gemacht, weil das Minuszeichen auf dem ersten Zeitableitungsterm bedeutet, dass die Vereinfachung dieser Gleichung ergibt:

∇ → × E → = ∂ B → ∂ T
das ist das Faradaysche Induktionsgesetz ohne das alles entscheidende Minuszeichen, das das Lenzsche Gesetz enthält.

Ich würde mich über ein scharfes Auge freuen, das auf meinen Rechenfehler hinweisen kann.

Wie bereits erwähnt, ist unten die vollständige Matrixform von F ~ μ v :

( 0 − B X − B j − B z B X 0 E z C − E j C B j − E z C 0 E X C B z E j C − E X C 0 )

Ich habe deine Zeichen nicht überprüft, aber du hast mehr Probleme als das, das scheinst du auch zusammen gefasst zu haben ich in Ihrer langen Gleichung, sodass Sie nur eine Gleichung anstelle von drei Gleichungen haben, eine für jeden Wert von ich .
@mikestone Guter Punkt, ich hatte das anfangs übersehen, obwohl sie, da sie alle gleich Null sind (dh jede der Gleichungen mit einem anderen i-Wert), ganz gut summiert werden können und tatsächlich sein müssen, um die vollständige Vektorrechnung aufzulösen Form des Faradayschen Gesetzes. Übersehe ich etwas?
Wie @mike stone sagte, ist Ihre lange Gleichung falsch. Ihnen fehlen die Einheitsvektoren ... da es sich um eine Vektorgleichung handelt. Null oder nicht, Sie fügen keine Komponenten entlang verschiedener Richtungen ohne Einheitsvektoren hinzu. Für Ihr Vorzeichenproblem: Überprüfen Sie Ihre Tensorkomponenten. So wie ich es gerade sehe, ist es nicht antisymmetrisch. Welche Form hat der (nicht-duale) Feldtensor? Führe eine Dualitäts-Transformation durch, um die nicht-duale Form wiederherzustellen. Sind dort die Vorzeichen für Ampere richtig?
@robphy Ah ja, ich habe den Fehler in der Matrix unten korrigiert. Meine Berechnungen verwendeten die richtige Version, die antisymmetrisch ist. Und ja, danke für den Hinweis auf das Einheitsvektorproblem. Ich denke, die Einheitsvektoren sind nicht explizit in der kovarianten Form der Gleichungen enthalten. Daher ist jede Klammer dann die Kräuselung von B, die mit dem entsprechenden Einheitsvektor gepunktet ist? Wenn Sie sie summieren, wird es zur vollen Locke. Ich bin immer noch ratlos, was das Vorzeichenproblem für das Lenzsche Gesetz angeht. Danke aber für die Hilfe.
Wenn Sie möchten, dass Ihre Vorzeichenprobleme festgeschrieben werden, sollten Sie Ihre Signaturkonventionen und Vorzeichenkonventionen (z. B. mit den eingeschlossenen Quelltermen) klarstellen und explizit zeigen, wie jeder Term in Ihrer Berechnung erhalten wird. Was ist zum Beispiel ( ∂ 0 , ∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) Und ( ∂ 0 F 01 , ∂ 1 F 11 , ∂ 2 F 21 , ∂ 3 F 31 ) ? (Leider gibt es keine universellen Konventionen ... also sollten Sie Ihre Konventionen wirklich spezifizieren. Ohne dies kann ich nur vorschlagen, die Konsistenz unter Transformationen zu überprüfen ... wie das Erhalten des Feldtensors von Ihrem Dual).
Ich habe durchgehend die Standardsignatur (+---) verwendet. Ich werde die Frage mit zusätzlichen Details bearbeiten. Schauen Sie sich en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor an , da die von mir verwendeten EM-Tensoren die gleichen sind wie die auf dieser Seite.

Antworten (2)

Du hast keinen Rechenfehler gemacht.

Okay, also hast du den offensichtlichen Fehler gemacht, als du versucht hast, alles zusammenzudrücken. Aber wenn wir diesen Fehler entfernen, haben Sie abgeleitet (Multiplikation durch mit C ) Das

− ∂ B X ∂ T + ∂ E j ∂ z − ∂ E z ∂ j = 0.
Das ist ein völlig richtiger Ausdruck.

Ihr einziger Fehler ist, dass Sie beim Denken über Minuszeichen schlampig geworden sind. In der Tat

∇ × E = ∇ × [ E X E j E z ] = [ ∂ j E z − ∂ z E j ∂ z E X − ∂ X E z ∂ X E j − ∂ j E X ]
damit, wenn wir sehen ∂ z E j − ∂ j E z wir müssen es sofort so sehen − ( ∇ × E ) X . Somit ist die richtige Förderung der obigen Gleichung
− B ˙ − ∇ × E = 0
während du einen Streuner hattest + Zeichen in der Mitte dieser beiden Begriffe falsch.

ich benutze G μ v für den dualen Tensor. Verwendung der Konvention ( + , − , − , − )

G μ v = ( 0 − B X − B j − B z B X 0 E z / C − E j / C B j − E z / C 0 E X / C B z E j / C − E X / C 0 )

Sie scheinen mehrere Fehler in Ihrer Ableitung zu haben. Zunächst einmal in der Gleichung ∂ μ G μ v = 0 , summieren wir nur über wiederholte Indizes, eine Kovariante und eine Kontravariante. Daher, v bestimmt vier Gleichungen, nicht vier Teile einer Gleichung. Zweitens sollten Sie keine Einheitsvektoren haben; Diese Gleichung basiert vollständig auf Komponenten. Als nächstes, wenn Sie die Komponente finden G μ ' v ' , Sie gehen zuerst auf die μ ' Reihe (beginnend bei Null), und dann die v ' te Spalte. So, G 01 = B X , nicht − B X . Schließlich haben Sie die Locke durch ein negatives Vorzeichen verwechselt: die X Bestandteil des Vektors ∇ × E Ist ∂ j E z − ∂ z E j , nicht ∂ z E j − ∂ j E z , wie Sie. Die Korrektur dieser drei Dinge ergibt die richtige Antwort. Also zum Beispiel die v = 1 Gleichung geben würde

0 = 1 C ( ∂ B X ∂ T + ∂ E z ∂ j − ∂ E j ∂ z ) = ∂ B X ∂ T + ( ∇ × E ) X
v = 2 , 3 folgt in genau der gleichen Weise. Wir können diese drei Gleichungen zu einer Vektorgleichung kombinieren:

Vielen Dank für Ihren Kommentar. Ich glaube leider nicht deine G μ v ist der korrekte kontravariante duale EM-Tensor. en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor Wikipedia und meine Notizen haben es so, wie ich es geschrieben habe? Jetzt verstehe ich, dass Ihres das Minuszeichen hervorbringt, aber es drängt scheinbar nur die Frage zurück, wie können Vorlesungsunterlagen und Wikipedia es so falsch verstehen (falls sie es haben)? Ich bin mir nicht sicher, was Sie für Ihre Matrix geschrieben haben (es gibt eine zusätzliche E j übrigens).
@JamieSmith Ah, ich weiß, was schief gelaufen ist. Ich verwende das ( − , + , + , + ) Konvention für die Minkowski-Metrik, während Wikipedia und Ihre Notizen verwenden ( + , − , − , − ) .
Ich habe meine Antwort bearbeitet, um Ihnen besser zu helfen. Sorry für die Verwirrung!
Was habe ich bei der Ableitung des Faradayschen Induktionsgesetzes aus seiner offensichtlich kovarianten Form falsch gemacht?
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