Beweis der Lorentz-Invarianz von Maxwell-Gleichungen

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Beweis der Lorentz-Invarianz von Maxwell-Gleichungen

Benutzer37252

Ich habe irgendwo gelesen, dass man die Lorentz-Invarianz der Maxwell-Gleichungen nicht beweisen muss $F_{\mu\nu,\sigma}+F_{\nu\sigma,\mu}+F_{\sigma\mu,\nu}=0$ weil es "offensichtlich Lorentz-invariant" ist oder "weil es Tensorgleichungen sind"? Was ist damit gemeint? Ich habe gelesen, dass dies bedeuten könnte, dass Raum und Zeit "gleichberechtigt" behandelt werden. Wie kann dies einen mathematischen Beweis ersetzen?

Jinawee

Sie sollten lernen, was Tensoren sind. Um zu sehen, warum die Gleichung Lorentz-invariant ist, transformieren Sie jede Komponente von

F

$F$ , seit

F

$F$ ein Tensor (Lorentz-Invariante) ist, ist die Gleichung auch invariant. Ich denke, dies könnte strenger ausgedrückt werden, aber ich weiß nicht, ob Sie einen mathematischen Beweis in Betracht ziehen. Vielleicht so etwas wie Gegeben eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M. Sei F ...

webb

Wirklich, wenn die Lagrange-Funktion Lorentz-invariant ist, werden es die abgeleiteten Bewegungsgleichungen auch sein. Da der EM Lagrange gegeben ist durch

L_{E M} = F^{μ ν} F_{μ ν}

$\mathcal{L}_{EM} = F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ , der ein Lorentz-invarianter Skalar ist, wissen Sie, dass die resultierenden Bewegungsgleichungen Lorentz-invariant sein müssen.

Kind des Saturn

Webb, die Gleichung des OP wird jedoch nicht von diesem Lagrange abgeleitet. Das ist die Bianchi-Identität und hält, sobald Sie das sagen, Ihre Feldstärke

F

$F$ wird aus einem Potential abgeleitet.

L_{E M}

$\mathcal{L}_{EM}$ gibt dir die andere Gleichung

\partial_{μ} F^{μ ν} = 0

$\partial_{\mu}F^{\mu \nu} = 0$ , wenn ich mich nicht irre.

Benutzer37252

@jinawee: Eigentlich beschäftige ich mich den ganzen Tag mit dem Tensorprodukt der Mathematiker, in der kommutativen Algebra. Und in welchem Sinne ist ein Tensor Lorentz-invariant? Sie meinen einfach, weil man sich bei der Definition nicht auf die Transformationen bezieht?

nervexxx

Um eine kurze Anmerkung hinzuzufügen: Wenn wir in der Physik sagen, dass ein Objekt ein Tensor ist, meinen wir wirklich, dass es ein Tensor in Bezug auf die Aktion einer Gruppe ist. Aber normalerweise lassen wir das letzte bisschen aus und sind schlampig mit unserer Sprache. Zum Beispiel

F_{μ ν}

$F_{\mu \nu}$ ist ein (0,2)-Tensor in Bezug auf die Lorentz-Gruppe (oder Poincaire im Allgemeinen), während so etwas wie beispielsweise ein Weyl-Spinor ein Vektor ist, der sich unter der fundamentalen Darstellung von SU (2) transformiert. Ein 3-Vektor wie Impuls ist ein Vektor unter SO (3), während ein 4-Vektor wie der Impuls-4-Vektor ein Vektor unter der Lorentz-Gruppe ist.

Benutzer37252

@nervxxx danke dafür, sehr nützlich zu wissen. die kulturellen unterschiede sind manchmal etwas groß

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Beweis der Lorentz-Invarianz von Maxwell-Gleichungen

Sie sollten lernen, was Tensoren sind. Um zu sehen, warum die Gleichung Lorentz-invariant ist, transformieren Sie jede Komponente von $F$ , seit $F$ ein Tensor (Lorentz-Invariante) ist, ist die Gleichung auch invariant. Ich denke, dies könnte strenger ausgedrückt werden, aber ich weiß nicht, ob Sie einen mathematischen Beweis in Betracht ziehen. Vielleicht so etwas wie Gegeben eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M. Sei F ...
Wirklich, wenn die Lagrange-Funktion Lorentz-invariant ist, werden es die abgeleiteten Bewegungsgleichungen auch sein. Da der EM Lagrange gegeben ist durch $\mathcal{L}_{EM} = F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ , der ein Lorentz-invarianter Skalar ist, wissen Sie, dass die resultierenden Bewegungsgleichungen Lorentz-invariant sein müssen.
Webb, die Gleichung des OP wird jedoch nicht von diesem Lagrange abgeleitet. Das ist die Bianchi-Identität und hält, sobald Sie das sagen, Ihre Feldstärke $F$ wird aus einem Potential abgeleitet. $\mathcal{L}_{EM}$ gibt dir die andere Gleichung $\partial_{\mu}F^{\mu \nu} = 0$ , wenn ich mich nicht irre.
@jinawee: Eigentlich beschäftige ich mich den ganzen Tag mit dem Tensorprodukt der Mathematiker, in der kommutativen Algebra. Und in welchem Sinne ist ein Tensor Lorentz-invariant? Sie meinen einfach, weil man sich bei der Definition nicht auf die Transformationen bezieht?
Um eine kurze Anmerkung hinzuzufügen: Wenn wir in der Physik sagen, dass ein Objekt ein Tensor ist, meinen wir wirklich, dass es ein Tensor in Bezug auf die Aktion einer Gruppe ist. Aber normalerweise lassen wir das letzte bisschen aus und sind schlampig mit unserer Sprache. Zum Beispiel $F_{\mu \nu}$ ist ein (0,2)-Tensor in Bezug auf die Lorentz-Gruppe (oder Poincaire im Allgemeinen), während so etwas wie beispielsweise ein Weyl-Spinor ein Vektor ist, der sich unter der fundamentalen Darstellung von SU (2) transformiert. Ein 3-Vektor wie Impuls ist ein Vektor unter SO (3), während ein 4-Vektor wie der Impuls-4-Vektor ein Vektor unter der Lorentz-Gruppe ist.
@nervxxx danke dafür, sehr nützlich zu wissen. die kulturellen unterschiede sind manchmal etwas groß

Kind des Saturn · Answer 1

Sie "ersetzen keinen mathematischen Beweis". Die Aussagen, auf die Sie sich beziehen, bedeuten, dass in Tensornotation der Beweis unmittelbar erfolgt, sodass nichts aufgeschrieben werden muss. Dies liegt daran, dass Sie, wenn Sie eine Tensorgleichung wie oben haben, eine Lorentz-Transformation durchführen und zu einem anderen Satz von Koordinaten gehen, um die Lorentz-Invarianz zu beweisen $x^{\mu'}$ . Dann erhalten wir das mit den üblichen Transformationsgesetzen ${\partial_{\mu}} = \Lambda^{\mu'}_{\mu}\partial_{\mu'}$ Und $F_{\mu\nu} = \Lambda^{\mu'}_{\mu}\Lambda^{\nu'}_{\nu}F_{\mu'\nu'}$ , können wir die Maxwell-Gleichung in Bezug auf die neuen Koordinaten schreiben, um zu werden

$\Lambda^{\mu'}_{\mu}\Lambda^{\nu'}_{\nu}\Lambda^{\sigma'}_{\sigma}(F_{\mu'\nu',\sigma'}+F_{\nu'\sigma',\mu'}+F_{\sigma'\mu',\nu'})=0.$

Dies kann jedoch nur gelten, wenn das Ding innerhalb der Klammern selbst Null ist. Es gilt nämlich auch die Maxwellsche Gleichung im gestrichenen Koordinatensystem.

Kurz gesagt bedeutet eine "Tensorgleichung", dass das Koordinatensystem, in dem die Gleichungen abgeleitet wurden, nichts Besonderes war. Sie hätten genauso gut ein anderes System wählen und dieselben Gleichungen ableiten können. Somit ist die Invarianz unter Koordinatenänderung unmittelbar.

Ja. Sie können die Maxwell-Gleichungen auch in Form von Differentialformen schreiben. Diese Gleichung ist einfach $dF = 0$ in dieser Notation.
Nur kanonisch. Ich bin überrascht, warum die anderen primitiveren Versionen immer noch überleben; schließlich gilt: Survival of the fittest (in brit. englisch bedeutet "fit" auch attraktiv ;))
Nun, erstens wäre es schwierig, Leuten, die gerade erst ihre Bachelor-Karriere in Physik beginnen, die anspruchsvollste Version beizubringen. Zu sehen, wie sich die elektrischen und magnetischen Felder physikalisch verhalten, ist auch viel klarer, wenn Sie sie in der Notation der Vektorrechnung schreiben.
Es ist auch so, dass in der Praxis die Berechnung in bestimmten Modellen ohne Koordinaten schwierig oder unmöglich ist. Koordinaten führen auch zu viel physikalischer Intuition (was wahrscheinlich der Grund ist, warum Einstein zum Beispiel bei der Formulierung von GR in Koordinaten dachte, abgesehen davon, dass vielleicht keine moderne Differentialgeometrie verfügbar ist, obwohl ich mir über die Geschichte nicht sicher bin) .
Einstein war sich des größten Teils der Differentialgeometrie sowie vieler anderer zeitgenössischer Entwicklungen nicht bewusst. Er zum Beispiel kämpfte enorm mit Problemen, die sofort gelöst worden wären, wenn er die Bianchi-Identitäten gekannt hätte. All dies wird überraschend detailliert in der exzellenten Biografie „ Subtle is the Lord“ des Physikerkollegen und Physikhistorikers Abraham Pais beschrieben.

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