Ableitung des 4-Stroms jjj als 4-Vektor in Landau-Lifschitz: Formulierung mit strenger mathematischer Behandlung?

Question

Ableitung des 4-Stroms jjj als 4-Vektor in Landau-Lifschitz: Formulierung mit strenger mathematischer Behandlung?

Quantenpeitsche

Hier beim Stack-Austausch tauchte die Frage auf, wie man ableiten kann, dass der 4-Strom tatsächlich ein Lorentz-Tensor ist. Eine der Antworten ( Wie beweisen wir, dass der 4-Strom $j^\mu$ verwandelt sich wie $x^\mu$ unter Lorentztransformation? ) verwendet die einzige Annahme der Lorentz-Invarianz der Ladung. Die Antwort enthält ein Zitat aus "The Classical Theory of Fields", LDLandau und EMLifshitz", §28).

Die Argumentation geht grob in die Richtung, dass die Ladung in einem „unendlich kleinen Volumen“ dV enthalten ist, das als bezeichnet wird $\rho$ , soll unabhängig vom Bezugssystem sein. Die Rechnung ist dann

\begin{aligned} D v ρ D X^{μ} = D v ρ D T \frac{D X^{μ}}{D T} \end{aligned}

$\begin{align} dV \rho dx^{\mu} = dV \rho dt \frac{dx^{\mu}}{dt} \end{align}$ Und da

d V ρ

$dV \rho$ soll "ein Lorenz-Skalar" sein, und "dt dV" ist es auch, schließt man daraus

ρ \frac{d x^{μ}}{d t}

$\rho \frac{dx^{\mu}}{dt}$ muss ein 4-Vektor sein.

Zunächst möchte ich nur fragen, ob jemals jemand diesen Beweis in der mathematischen Sprache der Tensoren auf die Raumzeit formuliert hat. Wenn mir das jemand zeigen könnte, wäre ich in Ordnung.

Zur Verdeutlichung: Es gibt mehrere Dinge an diesem Beweis, die ich nicht verstehe:

F1: Was für Objekte sind dV und dt? Ich bin daran gewöhnt, dass dx eine Differentialform ist, die ein Element aus dem Kotangensraum an der Raumzeit ist. Gegeben die Koordinatenbasis, ${e_i}$ , $dx^j$ ist also ein dualer Vektor $dx^j(e_i)= \delta^j_i$ hält). Wenn ich es so sehe, verstehe ich die Multiplikation dieser Differentialformen nicht (ich nehme an, es ist entweder als Tensor- oder als Keilprodukt gedacht, aber ich kann nicht herausfinden, was genau gemeint ist). . Außerdem verstehe ich nicht, dass man "Differentialformen aufteilen" kann - was ist da eigentlich los? Und falls die besagten Größen nur "kleine Zahlen" bedeuten sollen, wie könnte man den Beweis mit Differentialformen und Tangentenvektoren, also Elementen der Raumzeit, niederschreiben?

F2: Was genau ist hier mit "Invarianz" oder "Lorentz-Skalar" gemeint ? Ich nehme an, der Autor will eine Aussage darüber treffen, wie sich die Größe ändert, wenn man eine passive Transformation in der Raumzeit durchführt (das sind Lorentz-Transformationen: Man betrachtet denselben Raumzeitpunkt in einer anderen Basis, also die Koordinaten in Bezug auf dieser Basiswechsel).

Bei den oben genannten Mengen $dVdt$ sind zwar differentielle Formen, dann leben sie schon von der Raumzeit. Sie kümmern sich nicht um eine Änderung der Basis - Warum sollte sich irgendetwas davon überhaupt ändern?

Bei den oben genannten Mengen $dVdt$ sind ja nur "kleine zahlen" gemeint, und da spricht man von umwandlungseigenschaften, welche umwandlung ist hier gemeint?

Wenn ich mir das "Differenzvolumen" dV von 3 kleinen "Vektoren" aufgespannt stelle, die in Raumrichtungen zeigen $e_1$ , $e_2$ , $_3$ mit jeweiliger Länge von $dx^1$ , $dx^2$ Und $dx^3$ , dann könnten diese 3 Vektoren in einem verstärkten Referenzrahmen unterschiedliche Zeitkomponenten haben. Natürlich kann man ihre "neuen Raumlängen" immer noch berechnen, aber da sich im neuen Frame das Volumen bewegt, würde man eine falsche Größe für das Volumen berechnen, es würde um den Faktor größer erscheinen $\gamma$ .

Falls man das Volumen nicht nur durch 3 Vektoren aufspannt, sondern durch 3 Weltlinien definiert (was ein in der Zeit reisendes Volumen ergeben würde), könnte man diese transformieren und 3 Vektoren im neuen Bezugssystem wählen, die das sich bewegende Volumen aufspannen gleiche Zeiten. Dann könnte man sich ihre Längen ansehen $d\tilde{x}^1$ , $d\tilde{x}^2$ , $d\tilde{x}^3$ , und stellen fest, dass sich ihr Produkt tatsächlich um den Faktor verringert hat $\frac{1}{\gamma}$ . Wenn ich das mache, dann Transformation, die verbindet $dx^i$ Und $d\tilde{x}^j$ ist keine Lorenz-Transformation mehr, was mich verwirrt, welche davon ich jetzt wählen soll: Die erste ist die Transformation, von der ich erwarten würde, wenn man von "Transformationsgesetzen" spricht, während die zweite Transformation die richtigen Ergebnisse liefert ( die Lautstärke nimmt um den Faktor ab $\frac{1}{\gamma}$ ).

Q3: Was ist gemeint mit $dx^{\mu}$ an erster Stelle? Da es durch geteilt wird $dt$ Um eine Ableitung zu werden, nehme ich an, dass man vorher davon ausgeht, dass sich das angesprochene Volumen durch eine Funktion bewegt $x(t)$ im Weltraum. Ist es das? Und ist dx in diesem Fall nur so etwas wie die "unendliche Verschiebung" der Position des Volumens in der Raumzeit? Ich frage, weil im Beweis an keiner Stelle erwähnt wird, dass sich die Lautstärke tatsächlich durch eine solche Funktion bewegt.

Quantenpeitsche

@Frobenius: Sie haben selbst erklärt, dass der Kommentarbereich unter Ihrer Antwort (auf den ich mich tatsächlich beziehe) nicht der richtige Ort ist, um nach Klarstellungen zu fragen. Deshalb habe ich eine neue Frage geschrieben. Ich frage nicht, wie nachgewiesen werden kann, dass sich der 4 -Strom richtig umwandelt. Ich frage nach konkreten mathematischen Details zu dem Beweis, den Sie und Landau / Lifschitz vorlegen. Ich sehe nicht, wie dies ein Duplikat ist.

Antworten (1)

Ableitung des 4-Stroms jjj als 4-Vektor in Landau-Lifschitz: Formulierung mit strenger mathematischer Behandlung?

@Frobenius: Sie haben selbst erklärt, dass der Kommentarbereich unter Ihrer Antwort (auf den ich mich tatsächlich beziehe) nicht der richtige Ort ist, um nach Klarstellungen zu fragen. Deshalb habe ich eine neue Frage geschrieben. Ich frage nicht, wie nachgewiesen werden kann, dass sich der 4 -Strom richtig umwandelt. Ich frage nach konkreten mathematischen Details zu dem Beweis, den Sie und Landau / Lifschitz vorlegen. Ich sehe nicht, wie dies ein Duplikat ist.

Oktay Doğangün · Answer 1

Erstens, $dx^\mu$ ist ein Haufen von Differentialen als $cdt,dx,dy,dz$ die eine Basis auf der Mannigfaltigkeit bilden. Es ist eine lineare Abbildung, die einen Vektor im Raum verschluckt und die Komponente in Richtung der Koordinate ausspuckt $x^\mu$ (Die $\mu$ -te Richtung). Sie können also schreiben $\mu$ -ten Komponenten jedes Tensors als Projektionen auf die $\mu$ -tes Differential, $dx^\mu$ .

Das vierbändige Element, $dV dt$ , ist keine direkte Multiplikation von vier differentiellen Elementen, sondern eine Viererform , manchmal auch Volumenform genannt , und sie sind die Formen höchsten Grades in einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit (in diesem Fall 4). Viererformen in 4D sind keine Skalare, sondern Pseudo-Skalare, das heißt, sie haben nur eine Komponente, wie Skalare, transformieren sich aber nicht wie Skalare.

Lassen $d \mathcal{V}$ sei eine Volumenform in einem N-dimensionalen Raum wie folgt:

\begin{aligned} D v & = ρ ϵ_{μ_{1} \dots μ_{N}} D X^{μ_{1}} \land \dots \land D X^{μ_{N}} \\ = ρ D X^{0} D X^{1} D X^{2} D X^{3} \\ \equiv ρ D X^{4} \end{aligned}

$\begin{align} d \mathcal{V} &= {\rho} \, \epsilon_{\mu_1 \cdots \mu_N} \, dx^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_N} \\ &= \rho \, dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 \\ & \equiv \rho \, dx^4 \end{align}$ Wo

ρ

$\rho$ ist eine skalare Dichte, und

ϵ

$\epsilon$ ist das Levi-Civita-Symbol (nicht der Tensor). In den meisten Fällen wird die Determinante eines zweistufigen Tensors dort die skalare Dichte sein. Und meistens die Determinante des metrischen Tensors,

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ , die in der Allgemeinen Relativitätstheorie weit verbreitet ist.

Die skalare Dichte ist dabei die Komponente der Volumenform. Es ist kein Skalar, es transformiert anders. Die Transformationsregel für Dichten sind $\rho \rightarrow \det|J| \, \rho$ , Wo $J$ ist die Jacobi-Matrix der Subjekttransformation (z. B. Lorentz, Übersetzung usw.).

Andererseits transformiert sich die Basis der Volumenform genau umgekehrt, da das Levi-Civita-Symbol nur ein Haufen Zahlen ist und $dx^\mu$ wie ein Vektor transformieren, der die Umkehrung der Determinante von Jacobi liefert, und sich gegenseitig aufheben, dh $dx^4 \rightarrow \frac{1}{\det|J|} \, dx^4$

Machen wir es uns einfach und nehmen wir das flache Flugzeug als Beispiel. Stellen wir uns das Volumenelement in kartesischen Koordinaten vor, dh

D v = ϵ_{ich J} D X^{ich} \land D X^{J} = D X D j

$d \mathcal{V} = \epsilon_{ij} dx^i \wedge dx^j = dx dy$ Wechseln wir zu Polarkoordinaten,

r

$r$ Und

θ

$\theta$ , könnte eine Koordinatenbasis gewählt werden

d r

$dr$ Und

d θ

$d\theta$ , aber ihr Produkt wäre nicht gleich dem Volumenelement, d.h.

d x d y \neq d r d θ

$dx dy \neq dr d\theta$ . Entsprechend der Transformation von kartesisch zu polar muss man die Determinante des Jacobi einfügen, die ist

r

$r$ . Natürlich können Sie die Basisvektoren als definieren

{\hat{e}}^{r} = d r

$\hat{e}^r = dr$ Und

{\hat{e}}^{θ} = r d θ

$\hat{e}^\theta = r d \theta$ , Dann

d V = ϵ_{a b} {\hat{e}}^{a} \land {\hat{e}}^{b} = {\hat{e}}^{r} {\hat{e}}^{θ}

$dV = \epsilon_{ab} \, \hat{e}^a \wedge \hat{e}^b = \hat{e}^r \, \hat{e}^\theta$ wäre gleich dem kartesischen. Diese Art von Basen werden anholonom oder nicht-koordinierte Basen genannt (da sie keine geschlossenen Formen sind). Also eigentlich ist es so, als würde man den Jacobi schlucken.

Als Beispiel wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie (gekrümmte Raumzeit) das Volumenelement wie folgt:

D v = \sqrt{| det G |} D^{4} X

$d\mathcal{V} = \sqrt{|\det g|} d^4 x$ wo die Metrik

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ kann zu einer "flachen" Minkowski-Metrik werden,

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ , so dass

det η = 1

$\det \eta = 1$ .

In Affine Gravity, wo es keine Metrik, sondern nur die Krümmung gibt, sieht das Volumenelement wie folgt aus:

D v = \sqrt{| det R |} D^{4} X

$d\mathcal{V} = \sqrt{|\det R|} d^4 x$ Wo

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ ist die Ricci-Krümmung ( siehe Eddington-Formalismus).

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