Warum ist Ladung Lorentz-invariant, relativistische Masse aber nicht?

Nehmen Sie Ihre Fragen etwas aus der Reihe:

[Ladung] ist aufgrund unserer Definition von Ladung unveränderlich? Können wir dieses Phänomen ohne das Ergebnis von Experimenten erklären?

Das hängt von Ihrer genauen Definition von "Gebühr" ab. Für mich persönlich lautet die Antwort auf beide Fragen unter der natürlichsten Konzeptualisierung von "Ladung" nein, und die Ladungs-Lorentz-Invarianz ist ein rein empirisches Ergebnis. Andere Physiker könnten anders antworten.

Was ist die tiefe Bedeutung davon? Können wir das mit einer fundamentalen Physik verbinden?

Ja. Eine bemerkenswerte Tatsache der Physik ist, dass das nicht-relativistische Coulombsche Gesetz und das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation mathematisch praktisch identisch sind (der einzige wirkliche Unterschied besteht darin, dass elektrische Ladung jedes Vorzeichen haben kann, aber wir normalerweise nur positive Massen betrachten), ihre relativistischen Verallgemeinerungen jedoch sind sehr unterschiedlich (klassischer Elektromagnetismus bzw. Allgemeine Relativitätstheorie). Das bedeutet, dass es zwei völlig konsistente Möglichkeiten gibt, das nicht-relativistische Gesetz in ein relativistisches zu verallgemeinern. Grundsätzlich besteht der einzige Unterschied darin, ob Sie die "Ladung" relativistisch invariant wählen oder nicht.

Empirisch ist die Ladung eines Punktteilchens ein Lorentz- Skalar , was bedeutet, dass sie relativistisch unveränderlich und in jedem Lorentz-Rahmen gleich ist. Für ein geladenes Kontinuumfluid die Ladungsdichte$\rho$ist der$0$-Komponente eines relativistischen Vierervektors$J^\mu := (\rho, {\bf J})$. Ganz grob gesagt sagt die Anzahl der Lorentz-Indizes (in diesem Fall eins) aus, wie viele Faktoren der Lorentz-Faktor ist$\gamma$Sie erwerben unter Lorentz Boosts. Die elektrische Ladungsdichte hat die schematische Form (Ladung / Volumen) = (Ladung / (Länge in aufgeladener Richtung)$\times$(Querschnittsfläche quer zur Auftriebsrichtung)). Die Teile „Ladung“ und „Querbereich“ ändern sich nicht unter einem Lorentz-Boost, aber der Teil „1/(Länge in verstärkter Richtung)“ ändert sich und erhält einen Faktor von$\gamma$Aufgrund der Längenkontraktion gibt es also einen Faktor von$\gamma$gesamt.

Aber die "relativistische Masse" eines Punktteilchens (besser gedacht als seine Gesamtenergie, Ruhemasse + kinetische Energie) ist die$0$-Komponente eines relativistischen Viererimpulses$p^\mu := (E, {\bf p})$, also nimmt es einen Faktor von auf$\gamma$unter Lorentz-Boosts. Für ein Kontinuumfluid, das in GR ein natürlicheres Konzept als Punktteilchen ist, haben wir, dass sich die "Masse / Energiedichte" als transformiert$00$Bestandteil eines Spannungs-Energie-Tensors$T^{\mu \nu}$mit zwei Lorentz-Indizes. Denn die Energiedichte hat die schematische Form (Energie / Volumen) = (Energie / (Länge in verstärkter Richtung)$\times$(Querschnittsfläche quer zur verstärkten Richtung)), und sowohl die Energie oder "relativistische Masse" als auch die 1 / (Länge in verstärkter Richtung) nehmen einen Faktor von auf$\gamma$unter Lorentz-Boosts, also gibt es zwei Faktoren von$\gamma$in Summe.

Es gibt also zwei verschiedene Möglichkeiten, die mathematische Form des Coulombschen Gesetzes zu verallgemeinern, um es relativistisch zu machen. Wenn Sie dies so tun, dass die Ladung Lorentz-invariant ist, erhalten Sie natürlich klassischen Elektromagnetismus. Wenn Sie sich dafür entscheiden, dies so zu tun, dass die "Ladung" einen Faktor von erhält$\gamma$Unter Lorentz-Boosts erhalten Sie natürlich die allgemeine Relativitätstheorie. Bemerkenswerterweise kommen beide Möglichkeiten in der Natur vor.

Ich kann jedoch die Invarianz der Gebühren nicht vollständig verstehen. Was ist die tiefe Bedeutung davon? Es ist Invarianz wegen unserer Definition von Ladung?

Elektrische Ladung wird über ihre Kraftwirkung quantifiziert.

Vor der Relativitätstheorie wurde angenommen , dass jede Kraft in allen Inertialsystemen denselben Wert hat. Betrachten wir unter dieser Annahme zwei geladene Körper mit Ladungen$q_1$,$q_2$. Beide sind in Ruhe durch einen Abstand getrennt$r_{21}=|\mathbf r_2-\mathbf r_1|$, Und$\mathbf r_{21} = \mathbf r_2-\mathbf r_1$. Das Coulomb-Gesetz besagt, dass die Ladung fällig wird$q_1$auf die Ladung$q_2$Ist

In der relativistischen Theorie funktioniert das obige Argument nicht, weil die Coulomb-Formel nicht in allen Systemen gültig ist. Also müssen neue Argumente gefunden werden. Relativistische Formeln für die elektrische Kraft zwischen zwei sich bewegenden Ladungen sind komplizierter als die obige Coulomb-Formel, und es kann schwierig sein, mit derselben Methode auf Ladungsinvarianz zu schließen. Glücklicherweise gibt es einen anderen Weg.

Ein Argument, das zu funktionieren scheint, basiert auf der lokalen Erhaltung der elektrischen Ladung. Neben der Kraftwirkung hat die elektrische Ladung auch die wichtige Eigenschaft, dass sie nicht plötzlich erscheint oder verschwindet, sondern dass jede Änderung der Nettoladung in einer Region des Raums auf ihren kontinuierlichen Transport über die Regionsgrenze zurückzuführen ist. Die lokale Ladungserhaltung wird durch die Maxwell-Gleichungen impliziert, und es wurde nie eine Verletzung beobachtet und bestätigt. Wenn aber die Ladung eines Körpers abnimmt oder zunimmt, ohne dass Ladung in den Körper hinein oder aus dem Körper heraus transportiert wird, würde die Nettoladung in einer geeignet gewählten Raumregion das Erhaltungsgesetz verletzen, wenn sie beschleunigt oder verzögert wird.

Eine formalere Herleitung:

Lassen$\rho$sei die elektrische Ladungsdichte eines geladenen Körpers,$\mathbf j$elektrische Stromdichte u$V$Volumen einer festen Region im Raum, deren Grenze ist$\Sigma$; Lassen Sie die Dichten über die Grenze stetig sein.

Das Gesetz der lokalen Ladungserhaltung besagt, dass jede Ladungsänderung innerhalb des Volumens stattfindet$V$ist auf elektrischen Strom an der Grenze der Region zurückzuführen:

Lassen Sie uns eine solche Region verwenden, die$\mathbf j$verschwindet an seiner Grenze. Dann haben wir

Diese Gleichung an sich bedeutet nicht, dass die Nettoladung in diesem Bereich in allen Inertialrahmen gleich ist. Dies bedeutet jedoch, dass die Gesamtladung in der Region gleich bleibt, was auch immer die Ladungen bewirken (sie können beschleunigen oder verlangsamen). Wenn es nur einen geladenen Körper gibt und dieser aufgrund einer äußeren Kraft beschleunigt wird, impliziert die obige Gleichung, dass sich die Gesamtladung in der Region nicht ändert. Mit anderen Worten, die Geschwindigkeit des geladenen Objekts hat keinen Einfluss auf seine Gesamtladung.

Mit diesem Wissen ist es natürlich, den gleichen Ladungswert des Objekts in allen Inertialsystemen zu verwenden.

Für die relativistische Masse einer Region (Nettoenergie im Inneren dividiert durch$c^2$), scheint es, als könnte dasselbe Argument verwendet werden, um zu dem Schluss zu kommen, dass die relativistische Masse eines Körpers unabhängig von seiner Geschwindigkeit gleich ist, aber das ist eine falsche Schlussfolgerung. Also funktioniert das Argument in diesem Fall nicht. Warum nicht?

Obwohl die Gleichung der lokalen Energieerhaltung die gleiche ist wie für die Ladungserhaltung:

Dieses Problem trat bei Ladung nicht auf, da es möglich ist, den geladenen Körper zu beschleunigen, ohne dass eine andere Ladung innerhalb der Grenze vorhanden ist und ohne dass ein Ladungsaustausch durch die Grenze erfolgt - verwenden Sie einfach ein externes Feld.

Stellen Sie die folgenden 4 Hypothesen über das elektromagnetische Feld im leeren Raum auf:

$\:\color{blue}{\mathbf{A}}.\:\:$Ladungsinvarianz.

$\:\color{blue}{\mathbf{B}}.\:\:$Kovarianz (Forminvarianz) von Maxwell-Gleichungen.

$\:\color{blue}{\mathbf{C}}.\:\:$Kovarianz (Forminvarianz) der Lorentz-Kraftgleichung.

$\:\color{blue}{\mathbf{D}}.\:\:$Die Ladungs-4-Stromdichte ist ein Lorentz-4-Vektor.

Dann

1. Annahme der Ladungsinvarianz ($\color{blue}{\mathbf{A}}$) und Lorentz-Kraft-Kovarianz ($\color{blue}{\mathbf{C}}$) konnte die Kovarianz der Maxwell-Gleichungen ($\color{blue}{\mathbf{B}}$).
2. Annahme der Ladungsinvarianz ($\color{blue}{\mathbf{A}}$) konnte bewiesen werden, dass die 4-Stromdichte ein Lorentz-4-Vektor ist ($\color{blue}{\mathbf{D}}$) und umgekehrt
3. Unter der Annahme, dass die 4-Stromdichte ein Lorentz-4-Vektor ist ($\color{blue}{\mathbf{D}}$) konnte die Ladungsinvarianz ($\color{blue}{\mathbf{A}}$).
4. Unter der Annahme der Kovarianz von Maxwell-Gleichungen ($\color{blue}{\mathbf{B}}$) konnte bewiesen werden, dass die 4-Stromdichte ein Lorentz-4-Vektor ist ($\color{blue}{\mathbf{D}}$).

Verweise :

1. $\:\color{red}{\bf Classical\: Electrodynamics}$[Jackson], 3. Auflage.

$\qquad$$\S$11.9 Invarianz der elektrischen Ladung; Kovarianz der Elektrodynamik

$\quad$Die Forminvarianz der Gleichungen der Elektrodynamik unter Lorentz-Transformationen wurde von Lorentz und Poincare vor der Formulierung der speziellen Relativitätstheorie gezeigt. Diese Forminvarianz oder Kovarianz der Maxwell- und Lorentz-Kraftgleichungen impliziert, dass die verschiedenen Größen$\:\rho, \mathbf{J},\mathbf{E},\mathbf{B}\:$die in diese Gleichungen eingehen, transformieren sich auf wohldefinierte Weise unter Lorentz-Transformationen. Dann können sich die Terme der Gleichungen unter Lorentz-Transformationen konsistent verhalten.

$\quad$Die experimentelle Invarianz der elektrischen Ladung und die Forderung nach Lorentz-Kovarianz der Lorentz-Kraftgleichungen (11.125) und (11.126) bestimmen die Lorentz-Transformationseigenschaften des elektromagnetischen Feldes.

2. (A)$\:\color{red}{\bf Classical\: Electrodynamics}$[Jackson], 3. Auflage.

$\qquad\quad\:$$\S$11.9 Invarianz der elektrischen Ladung; Kovarianz der Elektrodynamik

$\quad$Das$\:J^{\alpha}\:$ein legitimer 4-Vektor folgt aus der Invarianz der elektrischen Ladung.

$\qquad$(B)$\:\color{red}{\bf The\: Classical\: Theory\: of\: Fields}$, [Landau-Lifshitz], 4. überarbeitete englische Ausgabe.

$\qquad\quad\:\:$$\S$28 Der vierdimensionale Stromvektor .

3. Wie können wir die Ladungsinvarianz unter der Lorentz-Transformation beweisen? , die akzeptierte Antwort.

4. Wie beweisen wir, dass sich der 4-Strom jμ unter der Lorentz-Transformation wie xμ transformiert? , ANTWORT B.

Relativistische Masse ist ein veraltetes Konzept. Masse, definiert als Energie im Ruhesystem oder als 3+1D-Länge des Teilchenenergieimpulses, ist unveränderlich. Die Gesamtladung, das Volumenintegral der Ladungsverteilung, ist Lorentz-invariant.