Wie können wir die Ladungsinvarianz unter der Lorentz-Transformation beweisen?

Wir haben Gravitationskraft zwischen zwei massiven Teilchen und wir haben elektromagnetische Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen. Wenn die spezielle Relativitätstheorie nahelegt, dass Masse keine unveränderliche Größe ist, warum haben wir dann elektrische Ladung als unveränderliche Größe?

Die Masse ist eine Invariante, oder genauer gesagt, die Ruhemasse ist eine Invariante. Sie denken an das alte Konzept der relativistischen Masse , das heutzutage nicht mehr verwendet wird. Die elektrische Ladung ist ebenso wie die Ruhemasse eine Invariante. Beide sind Skalare.

Antworten (4)

Lassen J = ( ρ , J ) sei die Stromdichte eines Systems. Diese vier Zahlen sind hypothetisch ein Vektor. Damit ist die Ladungsdichte gemeint ρ verwandelt sich genauso T tut, dh es wird "erweitert", wenn von Referenzrahmen zu Referenzrahmen gewechselt wird:

(1) ρ ' → γ ρ

Ladung ist per Definition das Volumenintegral der Ladungsdichte:

(2) Q ≡ ∫ D X   ρ

In einem anderen Bezugsrahmen liegt die Ladung

(3) Q ' = ∫ D X '   ρ ' = ∫ D X '   γ ρ
wo ich verwendet habe ( 1 ) .

Als nächstes müssen wir wissen, was D X ' Ist. Der Trick, dies zu bewerten, besteht darin, darauf hinzuweisen, dass das Produkt D T D X ist invariant (in SR). Das bedeutet, dass wir schreiben können D T ' D X ' = D T D X ; Lösung für D X ' wir bekommen

(4) D X ' = D T D T ' D X = 1 γ D X

Wenn wir das anschließen ( 3 ) , wir finden

(5) Q ' = ∫ D X '   γ ρ = ∫ D X   ρ = Q
das ist, Q = Q ' .

Würde der Down-Voter etwas dazu sagen?
Ich bin nicht der Downvoter, aber dieses Argument setzt die Schlussfolgerung voraus. Sie haben die Ausgangsannahme nur geringfügig geändert zu " J μ ist ein 4-Vektor", was im Grunde dasselbe ist wie Ladungsinvarianz. Der bessere Weg ist, mit einem Lagrangian zu beginnen (der als invariant postuliert wird) und dann den Satz von Noether anzuwenden.
@knzhou Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Ich habe diesen Beweis nicht erfunden: Er ist der Standardbeweis und kann in vielen Büchern über SR gefunden werden. Meine Vermutung ist in der Tat " J μ ist ein Vierervektor". Wenn wir dies zusammen mit der Lorentz-Kontraktion / -Dilatation verwenden, beweisen wir das leicht Q nimmt in jedem Bezugssystem den gleichen Wert an. Außerdem ist Noethers Theorem hier ein totaler Overkill, wo wir einen einfachen Beweis haben, der Physik verwendet, die jeder Student kennt.
Aber bis Sie etwas darüber erfahren J μ in der speziellen Relativitätstheorie wird jeder vorgeschlagene 4-Vektor sorgfältig als tatsächlich ein 4-Vektor bewiesen; J μ ist die einzige, die postuliert werden muss. Diese Annahme zu rechtfertigen ist die eigentliche Frage, dh dort liegt die Physik.
@knzhou nun, wir müssen etwas postulieren . Das können wir postulieren 1) J μ ein Vierervektor ist, 2) der Lagrange eines Punktteilchens ist L = Q u μ A μ , 3) das ψ → e ich θ Q ψ ist eine Symmetrie der QED-Lagrangian, 4) usw. Aber wir brauchen etwas Input. Ich glaube, dass Option 1) die natürlichste ist (auf dem Wissensstand von OP), aber natürlich könnten andere Leute anderer Meinung sein. Sie mögen 3). Ich frage mich, was OP gedacht hätte, wenn ich gesagt hätte: „Lass es L = ψ ¯ ( ∂̸ − M ) ψ + ⋯ "
Ja, ich stimme zu. Ich schätze, ich projizierte mich auf das OP; Als ich von der speziellen Relativitätstheorie erfuhr, sagte mir niemand etwas über (2) oder (3), sie wiederholten nur (1) immer und immer wieder. Auf der Ebene dieses Beitrags (1) ist in Ordnung.
@AccidentalFourierTransform Ich bin neugierig, warum Sie die Beziehung nicht verwendet haben ∂ μ J μ = 0 Da es hier um die Lorentz-Transformation ging, könnten wir die Idee der Lorentz-Kontraktion und -Dilatation haben, aber die Anwendung des obigen Gedankengangs scheint in GR schwierig zu sein.
Die Integrale definieren Q Und Q ' finden in verschiedenen räumlichen Hyperflächen der Raumzeit statt (dh verschiedene Beobachter haben unterschiedliche Vorstellungen von konstanter Zeit). Diese Antwort scheint jedoch davon auszugehen, dass sie auf derselben räumlichen Hyperfläche aufgenommen wurden.
@NíckolasAlves Es macht keinen Unterschied, da der Strom erhalten bleibt. Q ( Σ ) = ∫ Σ J ist invariant unter Verformungen von Σ Dank an D J = 0 .
Aber ist das Raumintegral der Energiedichte dann auch ein Lorentz-Skalar? Dasselbe Argument würde auch mit dem Energiedichte-Viervektor funktionieren. Macht das den Hamiltonoperator aus der Quantenfeldtheorie nicht zu einem Lorentz-Skalar?
@RyderRude Nein, der Hamiltonian ist das Integral eines Rang-2-Tensors T μ v (der Energie-Impuls-Tensor), aber die elektrische Ladung ist das Integral eines Rang-1-Tensors J μ (der Ladestrom). Als solches ist der Hamilton-Operator die nullte Komponente eines Vektors, und die elektrische Ladung ist ein Skalar. (Die Integration reduziert den Rang um 1, also T wird ein Vektor und J ein Skalar).
@AccidentalFourierTransform Aber allein für die Energie interessieren wir uns nur für den Vierervektor T μ 0 . Das andere T μ ich beziehen sich auf Impulsströme. Also das Raumintegral der 0-ten Komponente des Vierervektors T μ 0 sollte die Gesamtenergie sein, oder? Damit ist sie identisch mit der Gesamtladung, die auch das Raumintegral der 0-ten Komponente eines Vierervektors ist
@RyderRude Die Komponenten T μ 0 sind kein Vierervektor . Mathematik kümmert sich nicht darum, was Sie interessiert. Sie können sich nur darum kümmern T μ 0 , aber das ändert nichts an der Tatsache, dass T μ v ist ein Rang-2-Tensor. Eine Teilmenge von Komponenten eines bestimmten Tensors transformiert sich nicht wie ein Tensor niedrigeren Ranges. Sie können vergessen, dass diese Komponenten von einem größeren Objekt stammen, aber das ändert nichts an den Transformationsgesetzen desselben. Unter einer Lorentz-Transformation transformiert sich ein Vektor als J → Λ J , Und T μ 0 verwandelt sich als T → Λ T Λ .
@AccidentalFourierTransform Entschuldigung, ich dachte, Noethers Satz gab immer vier Vektoren zurück. Vielen Dank.

Die gesamte elektromagnetische Theorie beruht auf den Maxwell-Gleichungen plus der Lorentz-Kraft-Gleichung . Die Lorentz-Transformation ist eine geometrische Beschreibung dessen, wie etwas, das sich auf Raum und Zeit bezieht, variiert, wenn es sich der Lichtgeschwindigkeit nähert (in Abwesenheit von Schwerkraft; wir betrachten hier nur Trägheitssysteme).
Die Gesetze des Elektromagnetismus sind grundlegend für jedes elektromagnetische Phänomen. Da eines der Postulate der speziellen Relativitätstheorie besagt, dass die Gesetze der Physik in allen Inertialsystemen identisch sind , sollten auch die Gesetze des Elektromagnetismus in allen Inertialsystemen identisch sein. Dies soll (ich meine den Zweck der Relativitätstheorie) vereinbaren, was zwei Personen in unterschiedlichen Bezugsrahmen die gleichen physikalischen Gesetze sehen sollten.
Wir brauchen also, dass die Gesetze des Elektromagnetismus für alle Trägheitsrahmen gleich sind. Dies kann nur wahr sein, wenn wir die Ladung als eine unveränderliche Größe behandelnnur. Die einzige Quelle der elektromagnetischen Theorie sind die Ladungen. Wir haben den Satz der Ladungserhaltung (Wir können eine Ladung weder erzeugen noch zerstören. Wir können sie nur von einem Punkt zum anderen verschieben). Dieses eine physikalische Gesetz sollte für alle Inertialbeobachter gelten. Da die Ladung der grundlegende Aspekt jedes elektromagnetischen Phänomens ist, sollten zwei Trägheitsrahmen die gleiche Ladungsmenge in einem bestimmten Raumbereich erkennen. Andernfalls wird die Ladung nicht erhalten. Die Ladungserhaltung kam von Maxwells Gleichungen, was bedeutet, dass dann alle Gesetze des Elektromagnetismus für verschiedene Trägheitsrahmen unsymmetrisch (völlig unterschiedlich) erscheinen.
Aber Sie sollten nicht, dass, wenn eine Person elektrostatische Kraft in einem Bezugsrahmen sieht, die andere Person in einem anderen Trägheitsbezugsrahmen dasselbe als magnetische Kraft sieht. Allerdings erfährt beides eine Wucht. (Diese Sache ist einer der wichtigsten Sätze in der relativistischen Elektrodynamik: Magnetismus ist ein relativistisches Phänomen )

Die elektrische Neutralität von Atomen und Molekülen beweist, dass die Ladung unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Ein Heliumatom und ein Wasserstoffmolekül sind beide neutral, obwohl die Geschwindigkeit der Elektronen im Heliumatom fast doppelt so hoch ist wie in einem Wasserstoffmolekül. Zumindest experimentell ist also bewiesen, dass die Ladung unabhängig von der Geschwindigkeit ist.

Die spezielle Relativitätstheorie ist eine klassische Theorie, aber das Elektron in einem Atom hat nicht wirklich eine klassische Geschwindigkeit, daher bin ich von diesem Argument nicht überzeugt ...
Was ich mit Geschwindigkeit meinte, ist eigentlich die kinetische Energie. Kinetische Energie ist eine Observable in der Quantenmechanik. Wie sonst kann man dann erklären, dass Atome neutral sind?

Für jede Erhaltungsgröße gilt ∂ μ J μ = 0 , das kannst du beweisen Q = ∫ D 3 X J 0 ist ein Skalar.

Bitte zeigen Sie Ihren Nachweis.
Wie können wir die Ladungsinvarianz unter der Lorentz-Transformation beweisen?
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