Eine Abfrage in einem Schritt beim Ableiten der Maxwell-Gleichungen aus stationärer Aktion

Question

Eine Abfrage in einem Schritt beim Ableiten der Maxwell-Gleichungen aus stationärer Aktion

Benutzer161157

Beim Variieren der Maxwell-Aktion gelangt man zum folgenden Teil

\begin{aligned} δ (F^{μ v} F_{μ v}) & = 2 F^{μ v} δ F_{μ v} \\ = 2 F^{μ v} (\partial_{μ} δ A_{v} - \partial_{v} δ A_{μ}) \\ = 4 F^{μ v} \partial_{μ} δ A_{v} \end{aligned}

$\begin{align} \delta \left(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\right) &= 2 F^{\mu \nu} \delta F_{\mu \nu} \\ &= 2 F^{\mu \nu} \left(\partial_\mu \delta A_\nu - \partial_\nu \delta A_\mu\right) \\ &= 4 F^{\mu \nu} \partial_\mu \delta A_\nu \end{align}$

Doch wie kommt man eigentlich vom vorletzten Schritt zum letzten Schritt? Ich habe versucht, die Indizes auszuschreiben, und im vorletzten Schritt habe ich stattdessen das Doppelte des Begriffs (ohne den Faktor 2) erhalten.

KP99

F^{μ ν} \partial_{ν} δ A_{μ} = - F^{ν μ} \partial_{ν} δ A_{μ} = - F^{μ ν} \partial_{μ} δ A_{ν}

$F^{\mu\nu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}=-F^{\nu\mu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}=-F^{\mu\nu}\partial_{\mu}\delta A_{\nu}$ , seit

μ

$\mu$ Und

ν

$\nu$ Indizes sind Dummy. Daher addieren sich die beiden Terme im vorletzten Schritt und wir erhalten den letzten Schritt

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Eine Abfrage in einem Schritt beim Ableiten der Maxwell-Gleichungen aus stationärer Aktion

$F^{\mu\nu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}=-F^{\nu\mu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}=-F^{\mu\nu}\partial_{\mu}\delta A_{\nu}$ , seit $\mu$ Und $\nu$ Indizes sind Dummy. Daher addieren sich die beiden Terme im vorletzten Schritt und wir erhalten den letzten Schritt

DanielC · Answer 1

Es gibt Dummy-Summierungsindizes in $F^{\mu\nu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}$ . Mach die Veränderung $\mu \rightarrow \nu$ Und $\nu \rightarrow \mu$ . Sie erhalten $F^{\nu\mu}\partial_{\mu}\delta A_{\nu}$ . Und jetzt nutzen Sie einfach die Antisymmetrie des Faraday-Feldtensors, um das Minuszeichen loszuwerden.

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Benutzer161157

KP99

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DanielC

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