Erhalten Sie die Lagrange-Funktion aus dem System der gekoppelten Gleichung [geschlossen]

HAUPTTEIL: Der Lagrange

Lassen Sie die Bewegungsgleichungen und die Euler-Lagrange-Gleichungen mit null rechten Seiten ausdrücken

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,12px]{\ddot{Q}_{k}+\omega^{2}_{k}Q_{k}-2\dfrac{\dot{q}}{q}\sum_{j}g_{kj}\dot{Q}_{j}-\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{2}}\sum_{j}g_{kj}Q_{j}-\dfrac{\dot{q}^{2}}{q^{2}}\sum_{j\ell}g_{jk}g_{j\ell}Q_{\ell}=0} \tag{01a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,12px]{m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}-\dfrac{1}{q}\sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=0} \tag{01b} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#E1FFFF,12px]{\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{Q}_{k}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial Q_{k}}=0} \tag{02a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#E1FFFF,12px]{\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0} \tag{02b} \end{equation}$$

Wo$\:L\left(q,\dot{q},Q_{k},\dot{Q}_{k}\right)\:$der Lagrange.

Wir gehen zu den folgenden Definitionen über, um die große Menge an Variablen und Indizes mittels komprimierter vereinfachter Ausdrücke zu handhaben:

$$\begin{equation} \mathbf{Q}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} Q_{1}\\ Q_{2}\\ \vdots\\ Q_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{\dot{Q}}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \dot{Q}_{1}\\ \dot{Q}_{2}\\ \vdots\\ \dot{Q}_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{\ddot{Q}}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \ddot{Q}_{1}\\ \ddot{Q}_{2}\\ \vdots\\ \ddot{Q}_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \tag{03} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathrm{G} \stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} 0& g_{12} & g_{13} & \cdots & g_{1k} & \cdots \\ g_{21} & 0 & g_{23} & \cdots & g_{2k} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ g_{k1} & g_{k2} & g_{k3} & \cdots & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} =-\mathrm{G}^{\rm{T}} \tag{04} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Omega\left(q\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \omega_{1} & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & \omega_{2} & \cdots & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \omega_{k}& \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} = \dfrac{\pi}{q} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & 2 & \cdots & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & k & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} =\Omega^{\rm{T}}\left(q\right) \tag{05} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \phi\left(q,\dot{q}\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv}\dfrac{\dot{q}}{q} \tag{06} \end{equation}$$

Wir definieren unten auch den reellen Skalar, so etwas wie das innere Produkt von reellen Vektoren

$$\begin{equation} \boldsymbol{<}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \sum_{k}Q_{k}P_{k} \tag{07} \end{equation}$$

Unter diesen Definitionen und unter Verwendung der Gleichungen (A-01), siehe HILFSABSCHNITT, haben wir die folgenden Ausdrücke (08) anstelle der Bewegungsgleichungen (01) und (09) anstelle von (02):

$$\begin{equation} \mathbf{\ddot{Q}}+\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}+\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\rm{G}^{2}\mathbf{Q}=\mathbf{0} \tag{08a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=0 \tag{08b} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{Q}}=\mathbf{0} \tag{09a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0 \tag{09b} \end{equation}$$ während die Lagrange-Funktion des Systems, siehe Gleichung (3.1) in der Frage, unter Verwendung der Gleichungen (A-02) ausgedrückt wird als $$\begin{equation} \begin{split} & L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=\\ &\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)-\phi\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \end{split} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{10} \end{equation}$$ und in noch kompakterer Form $$\begin{equation} L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)= \dfrac{1}{2}\left(\left\Vert \phi\mathrm{G}\mathbf{Q}-\mathbf{\dot{Q}}\right\Vert^{2}-\left\Vert\Omega\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \right)+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V \tag{10$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ Wir werden versuchen, die Lagrange-Funktion Schritt für Schritt durch ein Trial-and-Error-Verfahren zu erstellen.

Wir erwarten also, dass der 1. Term von Gleichung (08a) aus einem Lagrange-Teil stammt$\:L_{1}\left(\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$so dass durch (09a)

$$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{1}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)= \mathbf{\ddot{Q}}\Longrightarrow \dfrac{\partial L_{1}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}=\mathbf{\dot{Q}} \tag{11} \end{equation}$$ Aus der Regel (A-3.d), siehe HILFSABSCHNITT, $\:L_{1}\:$Ist $$\begin{equation} L_{1}\left(\mathbf{\dot{Q}}\right)=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{12} \end{equation}$$ seit $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{\dot{Q}}}=2\mathbf{\dot{Q}} \tag{13} \end{equation}$$

Für den 2. Term von Gleichung (08a) erwarten wir einen Lagrange-Anteil$\:L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)\:$so dass durch (09a)

$$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{2}}{\partial \mathbf{Q}}= \Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q} \tag{14} \end{equation}$$ So $$\begin{equation} L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)=-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{15} \end{equation}$$ da aus der Regel (A-3.c) und der symmetrischen (genauer: diagonalen) Matrix $\:\Omega^{2}=\left(\Omega^{2}\right)^{\rm{T}}\:$ $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{Q}}=\left[\Omega^{2}+\left(\Omega^{2}\right)^{\rm{T}}\right]\mathbf{Q}=2\Omega^{2}\mathbf{Q} \tag{16} \end{equation}$$ Aber als Lagrange-Teil $\:L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)\:$ist eine Funktion von $\:q\:$außerdem erzeugt es Elemente in den Bewegungsgleichungen, wenn es in den 2. Term von (09b) eingefügt wird: $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{2}}{\partial q}=+\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{Q}}=+\boldsymbol{<}\Omega \dfrac{\partial \Omega}{\partial q} \mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{17} \end{equation}$$ das ist genau der 3. Term in Gleichung (08b).

Andererseits sind die ersten beiden Terme von (08b) die eines Teilchens, das sich in einem Potential bewegt, also stammen sie aus einem Lagrange-Teil$\:L_{3}\left(q,\dot{q}\right)\:$:

$$\begin{equation} L_{3}\left(q,\dot{q}\right)=\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q) \tag{18} \end{equation}$$ Dieser Teil $\:L_{3}\left(q,\dot{q}\right)\:$wenn in (9a) eingesetzt, ergibt sich nichts (kein Term in Bewegungsgleichungen). Nun, in (08a) geben die Hälfte des 3. Terms und des 4. Terms an $$\begin{equation} -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}=\dfrac{d}{dt}\left(-\phi\mathrm{G}\mathbf{Q}\right) \tag{19} \end{equation}$$ wir erwarten also einen Lagrange-Anteil $\:L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$so dass durch (09a) $$\begin{equation} \dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}= -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{20} \end{equation}$$ das ist $$\begin{equation} L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{21} \end{equation}$$ Aber wegen der Antisymmetrie von $\:\mathrm{G}\;$, dieser Teil kann auch ausgedrückt werden als $$\begin{equation} L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=+\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G} \mathbf{\dot{Q}},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{22} \end{equation}$$ also einfügen in den 2. Term von (09a) $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{Q}}= -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}} \tag{23} \end{equation}$$ das ist die andere Hälfte des 3. Terms in (08a). Das bedeutet, dass $\:L_{4}\:$, wenn in (09a) eingefügt, erzeugt den 3. und 4. Term von (08a) $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)-\dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{Q}}=-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{24} \end{equation}$$ Die Ausgabe der Einfügung von $\:L_{4}\:$in (09b) würde später zusammen mit untersucht $\:L_{5}\:$. Der 5. Term von (08a) kann aus einem Lagrange-Teil stammen $\:L_{5}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$so dass durch (09a)
$$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{5}}{\partial \mathbf{Q}}=\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q} \tag{25} \end{equation}$$ So $$\begin{equation} L_{5}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{26} \end{equation}$$ da von (A-03.c) und die Symmetrie von $\:\mathrm{G}^{2}\:$ $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{Q}}=\left(\mathrm{G}^{2}+\left(\mathrm{G}^{2}\right)^{\rm{T}}\right)\mathbf{Q}=2\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q} \tag{27} \end{equation}$$ Es kann bewiesen werden, siehe A PROOF ABSCHNITT, dass die Summe $\:L_{45}=L_{4}+L_{5}\:$ $$\begin{equation} L_{45}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=L_{4}+L_{5}=-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{28} \end{equation}$$ wenn in (09b) eingefügt, entsteht der 4. Term von (08b) $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{29} \end{equation}$$

In Gleichung (30) unten summieren wir die gefundenen Lagrange-Teile und die endgültige Lagrange-Funktion ist

$$\begin{equation} \begin{split} & L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=\\ &\underbrace{\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{L_{1}}\underbrace{-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{2}}\underbrace{+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)}_{L_{3}}\underbrace{-\phi\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{L_{4}}\underbrace{-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{5}} \end{split} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{30} \end{equation}$$ identisch mit der in der Veröffentlichung angegebenen Gleichung (10).

Gleichungen (31) sind die Bewegungsgleichungen (08) mit geschweiften Klammern unter Punkten, die von den Lagrange-Termen angegeben sind$\:L_{m}\:$Diese Artikel stammen von:

$$\begin{equation} \underbrace{\mathbf{\ddot{Q}}}_{L_{1}}\underbrace{+\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}}_{L_{2}}\underbrace{-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}}_{L_{4}}\underbrace{+\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\rm{G}^{2}\mathbf{Q}}_{L_{5}}=\mathbf{0} \tag{31a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \underbrace{m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}}_{L_{3}}\underbrace{-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{2}}\underbrace{+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{4}+L_{5}}=0 \tag{31b} \end{equation}$$
Beachten Sie, dass die kanonischen Impulse $\:\mathbf{P},p\:$konjugieren zu $\:\mathbf{Q},q\:$jeweils sind
$$\begin{align} \mathbf{P}&=\dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}=\mathbf{\dot{Q}}-\frac{\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{32a}\\ p&=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>} \tag{32b} \end{align}$$ wo für den Beweis von (32b) $$\begin{align} p&=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\frac{\dot{q}}{q^{2}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\frac{\dot{q}}{q^{2}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \underbrace{\mathbf{\dot{Q}}-\frac{\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{Q}}_{\mathbf{P}}\boldsymbol{>}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>} \tag{32b$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$ Die Gleichungen (32a) und (32b) sind identisch mit (3.3) bzw. (3.4) der unten angegebenen Veröffentlichung $$\begin{align} P_{k}&=\dot{Q}_{k}-\frac{\dot{q}}{q}\sum_{j}g_{kj}Q_{j} \tag{3.3}\\ p&=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\sum_{jk}g_{kj}P_{k}Q_{j} \tag{3.4} \end{align}$$

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HILFSTEIL : Komprimierte vereinfachte Ausdrücke und partielle Differenzierungsregeln

Gleichungen (A-01) sind nützlich für die Umwandlung der Bewegungsgleichungen von der Form (01) in die Form (08) :

$$\begin{align} &\omega^{2}_{k}Q_{k}=\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{k} \tag{A-01.a}\\ &\sum_{j}g_{kj}Q_{j}=\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k} \tag{A-01.b}\\ &\sum_{j}g_{kj}\dot{Q}_{j}=\left[\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}\right]_{k} \tag{A-01.c}\\ &\sum_{j\ell}g_{jk}g_{j\ell}Q_{\ell}=-\sum_{\ell}\left(\sum_{j}g_{kj}g_{j\ell}\right)Q_{\ell}=-\sum_{\ell}\left( \mathrm{G}^{2}\right)_{k\ell}Q_{\ell}=-\left(\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q}\right)_{k} \tag{A-01.d}\\ &\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{2}}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)=\dfrac{d\phi\left(q,\dot{q}\right)}{dt}=\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right) \tag{A-01.e}\\ &\sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-01.f} \end{align}$$ Der Beweis von (A-01.f) läuft wie folgt ab $$\begin{equation} \sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\underbrace{\sum_{k}\omega^{2}_{k}Q^{2}_{k}}_{\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}+\underbrace{\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}}_{-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}} \tag{A-01.f$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ seit $$\begin{align} &\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\left(\dfrac{\pi}{q}\right)^{2}\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}kjQ_{k}Q_{j}= \nonumber\\ &\left(\dfrac{\pi}{q}\right)^{2}\sum_{k,j\ne k}\underbrace{(-1)^{k+j}\dfrac{2kj}{j^{2}-k^{2}}}_{g_{kj}}\dfrac{j^{2}-k^{2}}{2}Q_{k}Q_{j}=\dfrac{1}{2}\sum_{k,j}g_{kj}\left(\omega^{2}_{j}-\omega^{2}_{k}\right)Q_{k}Q_{j}= \nonumber\\ &-\dfrac{1}{2}\sum_{j}\underbrace{\left(\omega^{2}_{j}Q_{j}\right)}_{\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{j}}\overbrace{\sum_{k}g_{jk}Q_{k}}^{\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{j}}-\dfrac{1}{2}\sum_{k}\underbrace{\left(\omega^{2}_{k}Q_{k}\right)}_{\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{k}}\overbrace{\sum_{j}g_{kj}Q_{j}}^{\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}}=-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-01.f\;$^{\boldsymbol{\prime\prime}}$} \nonumber \end{align}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{A-01.f$\;^{\boldsymbol{\prime\prime}}$} \end{equation}$$

Die Gleichungen (A-02) und (A-03) sind nützlich für die Umwandlung der Lagrange-Funktion von der Form (3.1), siehe fragliche Gleichung, in die Form (10) und für die schrittweise Konstruktion dieser Lagrange-Funktion aus der Bewegungsgleichungen (08) :

$$\begin{align} &\sum_{k}\dot{Q}_{k}^{2}=\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\left\Vert\mathbf{\dot{Q}}\right\Vert^{2} \tag{A-02.a}\\ &\sum_{k}\omega_{k}^{2}(q)Q_{k}^{2}=\boldsymbol{<} \Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<} \Omega\mathbf{Q},\Omega^{\rm{T}} \mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<} \Omega\mathbf{Q},\Omega\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\left\Vert\Omega\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \tag{A-02.b}\\ &\sum_{j,k}g_{kj}\dot{Q}_{k}Q_{j}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.c}\\ &\sum_{j,k,\ell}g_{kj}g_{k\ell}Q_{\ell}Q_{j}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\left\Vert\mathrm{G}\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \tag{A-02.d} \end{align}$$ Die Gleichungen (A-02.c) und (A-02.d) werden jeweils wie folgt bewiesen $$\begin{align} &\sum_{j,k}g_{kj}\dot{Q}_{k}Q_{j}=\sum_{k}\left(\sum_{j}g_{kj}Q_{j}\right)\dot{Q}_{k}=\sum_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}\left[\mathbf{\dot{Q}}\right]_{k}= \nonumber\\ &\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{Q}, \mathrm{G}^{\rm{T}}\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{Q}, -\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.c$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$ $$\begin{align} &\sum_{j,k,\ell}g_{kj}g_{k\ell}Q_{\ell}Q_{j}=\sum_{k}\left(\sum_{j}g_{kj}Q_{j}\right)\left(\sum_{\ell}g_{k \ell}Q_{\ell}\right)=\sum_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k} \nonumber\\ &=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{\rm{T}}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.d$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$

Die nachstehenden Gleichungen (A-03) sind gewissermaßen partielle Differentiationsregeln einer Skalarfunktion einer Vektorvariablen$\:\mathbf{S}\:$in Bezug auf diese Variable. Die Skalarfunktionen sind normalerweise Skalarprodukte und der variable Vektor ist es$\:\mathbf{S}=\mathbf{Q}\;\text{or}\;\mathbf{\dot{Q}}\:$. Im Folgenden$\:\mathbf{A},\mathbf{R}\:$sind Vektoren und$\:\mathrm{F}\:$lineare Transformation alle unabhängig vom variablen Vektor$\:\mathbf{S}\:$. Normalerweise$\:\mathrm{F}=\Omega,\Omega^{2},\mathrm{G},\mathrm{G}^{2}\:$:

$$\begin{align} &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{A},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathbf{A}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}} =\mathbf{A} \tag{A-03.a}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{R},\mathrm{F}\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}} =\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R} \tag{A-03.b}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathrm{F}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\left(\mathrm{F}+\mathrm{F}^{\rm{T}}\right)\mathbf{S} \tag{A-03.c}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=2 \mathbf{S} \tag{A-03.d} \end{align}$$ (A-03.b) ist ein Sonderfall von (A-03.a) mit $\:\mathbf{A}=\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R}\:$und (A-03.d) ist ein Spezialfall von (A-03.c) mit $\:\mathrm{F}=\mathrm{I}\:$.

Eine im folgenden Abschnitt nützliche Identität ist

$$\begin{equation} \mathrm{G}^{\rm{T}}=-\mathrm{G} \:\Longrightarrow \: \boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}=0, \quad \text{for any real vector }\: \mathbf{S} \tag{A-04} \end{equation}$$ seit $$\begin{equation} \boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathrm{G}^{\rm{T}}\mathbf{S}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{S},\left(-\mathrm{G}\right)\mathbf{S}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>} \tag{A-04$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$

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A BEWEISABSCHNITT: Beweis von Gleichung (29) bei gegebener Gleichung (28).

Wir werden Gleichung (29) aus (28) beweisen, wobei die beiden Gleichungen hier der Einfachheit halber wiederholt werden

$$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{29} \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} L_{45}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv}-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{28} \end{equation}$$

$$\begin{align} -\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}&=\phi\dfrac{\partial \phi}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\partial \phi}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=\left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)\dfrac{\partial \left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\partial \left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \nonumber \end{align}$$ So $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=\left(-\dfrac{\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-01} \end{equation}$$ Jetzt $$\begin{align} \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}&=-\phi\dfrac{\partial \phi}{\partial \dot{q}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\dfrac{\partial \phi}{\partial \dot{q}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}\;\Longrightarrow \nonumber\\ \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}&=\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-02} \end{align}$$ Differenzieren (B-02) bzgl $\:t\:$ $$\begin{align} &\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)=\left(-\dfrac{\ddot{q}q-2\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{\dot{Q}},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\underbrace{\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{=0,\text{see (A-04)}} \nonumber\\ &+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\ddot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-03} \end{align}$$ Hinzufügen von (B-01) und (B-03) $$\begin{align} &\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}= \nonumber\\ &\left(-\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{2\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\ddot{Q}}\boldsymbol{>}= \nonumber\\ &+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\left(\dfrac{\ddot{q}-\dot{q}^{2}}{q^{2}}\right) \mathrm{G}\mathbf{Q}+\dfrac{2\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\mathbf{\ddot{Q}},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\underbrace{\dot{\phi}\mathrm{G}\mathbf{Q}+2\phi\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\mathbf{\ddot{Q}}}_{=\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}+\phi^{2}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\text{ see (08a)}},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}+\phi^{2}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\phi^{2}}{q}\underbrace{\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{=0,\text{see (A-04)}} \nonumber \end{align}$$ So $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{B-04} \end{equation}$$ QED.