Transformation von Jaynes-Cummings Hamiltonian

Question

Transformation von Jaynes-Cummings Hamiltonian

Physik
Quantenoptik
Zwei-Ebenen-System
Quantenmechanik
Hausaufgaben und Übungen

Mechanix

Dies ist der Jaynes-Cummings-Hamiltonoperator im Interaktionsbild: $H_i^n = \hbar g \sqrt{n+1}\begin{pmatrix} 0 & \exp(-i\delta t)\\ \exp(i\delta t) & 0 \end{pmatrix}$

Ich möchte es in eine andere Basis umwandeln, sodass es so aussieht:

$H_{i2}^n = \hbar \begin{pmatrix} -\delta/2 & g \sqrt{n+1}\\ g \sqrt{n+1} & \delta/2 \end{pmatrix}$

Ich präsentiere die Lösung, die ich mit Hilfe von DanielSank gefunden habe, und marschiere weiter unten.

Daniel Sank

Können Sie körperlich darüber nachdenken, was Sie tun müssen? Versuchen Sie, das Original zu schreiben

H

$H$ in Bezug auf Pauli-Operatoren und überlegen Sie dann, was es bedeutet , die Zeitabhängigkeit loszuwerden. Wenn Sie sich anstrengen können, helfe ich Ihnen den Rest des Weges. Auf dieser Website müssen wir einige spezifische und konzeptionelle Fragen stellen. Breite Appelle zur Lösung solcher Probleme werden eigentlich als Off-Topic und Grund zum Schließen einer Frage angesehen.

Mechanix

Hallo DanielSank, soweit ich das verstanden habe, bedeutet die Beseitigung der Zeitabhängigkeit in diesem Fall, unser Bezugssystem so zu transformieren, dass es genau mit dieser Verstimmungsfrequenz rotiert

δ

$\delta$ , so dass das beobachtete System stationär ist. Im Moment betrachten wir ein System, das mit der Frequenz des Antriebsfeldes rotiert. Dies scheint jedoch nicht alles zu sein, was hier zu tun ist. Wenn ich diesen Hamiltonian mit einer Matrix transformiere

U = (\begin{matrix} \exp (- i δ t / 2) & 0 \\ 0 & \exp (i δ t / 2) \end{matrix})

$U=\begin{pmatrix} \exp(-i\delta t/2) &0 \\ 0 & \exp(i\delta t /2) \end{pmatrix}$

Mechanix

... dann kann ich alle Zeitabhängigkeiten töten (ich habe konstante nicht-diagonale Elemente übrig), aber ich kann diagonale Elemente nicht so erscheinen lassen.

Mechanix

Mir ist nicht klar, was ich tun soll, nachdem ich es in Bezug auf Pauli-Operatoren geschrieben habe:

H_{i}^{n} = ℏ g \sqrt{n + 1} \frac{1}{2} ((σ_{x} + i σ_{y}) \exp (- i δ t) + (σ_{x} - i σ_{y}) \exp (i δ t))

$H_i^n=\hbar g \sqrt{n+1}\frac{1}{2}\left((\sigma_x+i\sigma_y)\exp(-i\delta t) + (\sigma_x-i\sigma_y)\exp(i\delta t) \right)$ ... für den anderen Hamiltonian bekomme ich:

- ℏ σ_{z} δ / 2 + ℏ g \sqrt{n + 1} σ_{x}

$-\hbar \sigma_z \delta/2 + \hbar g \sqrt{n+1}\sigma_x$

Daniel Sank

Könntest du deine Arbeit in den Hauptpost stellen?

Mechanix

Sicher! Kein Problem!

Daniel Sank

In dem Beitrag geben Sie eine Kandidatentransformation an, aber Sie haben das Ergebnis der Anwendung dieser Transformation nicht gezeigt ...

Marsch

Beachten Sie, dass Sie beim Transformieren des Hamilton-Operators auch die linke (zeitabhängige) Seite der Schrödinger-Gleichung transformieren müssen, und da die Transformation zeitabhängig ist, erhalten Sie mehr Terme, wenn Sie die Produktregel auf das Produkt anwenden der Transformationsmatrix und des Zustandsvektors. Das wird sie einbringen

δ

$\delta$ ist auf der Diagonalen.

Daniel Sank

@march Ja, ich habe das Gefühl, das ist die Sache, von der so wenige Leute bei solchen Problemen wissen.

Marsch

@Daniel Sank. Es hilft, in einer theoretischen Quantenoptik-Gruppe aufgewachsen zu sein.

Daniel Sank

@march Das Seltsame ist, dass ich zwar in der Schule etwas über das "Interaktionsbild" gelernt habe, wir es aber nie so gemacht haben, wie Sie und ich hier sprechen. Mit anderen Worten, ich habe gelernt, wie man die Zeitabhängigkeit zwischen dem Zustand und den Operatoren hin und her bewegt, aber ich habe nie gelernt, dass man sie tatsächlich vollständig loswerden kann , indem man in einen rotierenden Rahmen geht. Das musste ich selbst herausfinden. Es ist erstaunlich, wie unoptimiert unsere pädagogischen Programme manchmal sein können!

Marsch

@Daniel Sank. Ich erinnere mich an ein Hausaufgabenproblem, bei dem wir die Zeitabhängigkeit im Hamilton-Operator brutal beseitigt haben, indem wir die Form der Lösung erraten haben, aber ja, ich musste das Verfahren später für mich verallgemeinern.

Daniel Sank

Warum verschieben Sie die Lösung, die Sie in den Beitrag gestellt haben, nicht in eine Antwort? Selbstbeantwortete Fragen sind völlig in Ordnung!

Antworten (1)

Transformation von Jaynes-Cummings Hamiltonian

Können Sie körperlich darüber nachdenken, was Sie tun müssen? Versuchen Sie, das Original zu schreiben $H$ in Bezug auf Pauli-Operatoren und überlegen Sie dann, was es bedeutet , die Zeitabhängigkeit loszuwerden. Wenn Sie sich anstrengen können, helfe ich Ihnen den Rest des Weges. Auf dieser Website müssen wir einige spezifische und konzeptionelle Fragen stellen. Breite Appelle zur Lösung solcher Probleme werden eigentlich als Off-Topic und Grund zum Schließen einer Frage angesehen.
Hallo DanielSank, soweit ich das verstanden habe, bedeutet die Beseitigung der Zeitabhängigkeit in diesem Fall, unser Bezugssystem so zu transformieren, dass es genau mit dieser Verstimmungsfrequenz rotiert $\delta$ , so dass das beobachtete System stationär ist. Im Moment betrachten wir ein System, das mit der Frequenz des Antriebsfeldes rotiert. Dies scheint jedoch nicht alles zu sein, was hier zu tun ist. Wenn ich diesen Hamiltonian mit einer Matrix transformiere $U=\begin{pmatrix} \exp(-i\delta t/2) &0 \\ 0 & \exp(i\delta t /2) \end{pmatrix}$
... dann kann ich alle Zeitabhängigkeiten töten (ich habe konstante nicht-diagonale Elemente übrig), aber ich kann diagonale Elemente nicht so erscheinen lassen.
Mir ist nicht klar, was ich tun soll, nachdem ich es in Bezug auf Pauli-Operatoren geschrieben habe: $H_i^n=\hbar g \sqrt{n+1}\frac{1}{2}\left((\sigma_x+i\sigma_y)\exp(-i\delta t) + (\sigma_x-i\sigma_y)\exp(i\delta t) \right)$ ... für den anderen Hamiltonian bekomme ich: $-\hbar \sigma_z \delta/2 + \hbar g \sqrt{n+1}\sigma_x$
In dem Beitrag geben Sie eine Kandidatentransformation an, aber Sie haben das Ergebnis der Anwendung dieser Transformation nicht gezeigt ...
Beachten Sie, dass Sie beim Transformieren des Hamilton-Operators auch die linke (zeitabhängige) Seite der Schrödinger-Gleichung transformieren müssen, und da die Transformation zeitabhängig ist, erhalten Sie mehr Terme, wenn Sie die Produktregel auf das Produkt anwenden der Transformationsmatrix und des Zustandsvektors. Das wird sie einbringen $\delta$ ist auf der Diagonalen.
@march Ja, ich habe das Gefühl, das ist die Sache, von der so wenige Leute bei solchen Problemen wissen.
@Daniel Sank. Es hilft, in einer theoretischen Quantenoptik-Gruppe aufgewachsen zu sein.
@march Das Seltsame ist, dass ich zwar in der Schule etwas über das "Interaktionsbild" gelernt habe, wir es aber nie so gemacht haben, wie Sie und ich hier sprechen. Mit anderen Worten, ich habe gelernt, wie man die Zeitabhängigkeit zwischen dem Zustand und den Operatoren hin und her bewegt, aber ich habe nie gelernt, dass man sie tatsächlich vollständig loswerden kann , indem man in einen rotierenden Rahmen geht. Das musste ich selbst herausfinden. Es ist erstaunlich, wie unoptimiert unsere pädagogischen Programme manchmal sein können!
@Daniel Sank. Ich erinnere mich an ein Hausaufgabenproblem, bei dem wir die Zeitabhängigkeit im Hamilton-Operator brutal beseitigt haben, indem wir die Form der Lösung erraten haben, aber ja, ich musste das Verfahren später für mich verallgemeinern.
Warum verschieben Sie die Lösung, die Sie in den Beitrag gestellt haben, nicht in eine Antwort? Selbstbeantwortete Fragen sind völlig in Ordnung!

Mechanix · Answer 1

Dem Vorschlag von DanielSank folgend habe ich versucht, beide Hamiltonianer in Bezug auf Pauli-Operatoren zu schreiben :

H_{ich}^{N} = ℏ G \sqrt{N + 1} \frac{1}{2} [(σ_{X} + ich σ_{j}) e^{- ich δ T} + (σ_{X} - ich σ_{j}) e^{ich δ T}],

$H_i^n=\hbar g \sqrt{n+1}\frac{1}{2}\left[(\sigma_x+i\sigma_y)e^{-i\delta t} + (\sigma_x-i\sigma_y)e^{i\delta t} \right],$ Und

H_{ich 2}^{N} = - ℏ σ_{z} δ / 2 + ℏ G \sqrt{N + 1} σ_{X} .

$H_{i2}^n = -\hbar \sigma_z \delta/2 + \hbar g \sqrt{n+1}\sigma_x.$

Also suche ich im Grunde nach einer Transformation, die den Inhalt der Klammern in umwandelt $\sigma_x$ und lässt auch diesen anderen Begriff erscheinen.

Wenn ich die Zeitabhängigkeit loswerden möchte, kann ich alles wieder in das Schrödinger-Bild zurückverwandeln, indem ich benutze

U = (\begin{matrix} \exp (ich δ T / 2) & 0 \\ 0 & \exp (- ich δ T / 2) \end{matrix}) .

$U=\begin{pmatrix} \exp(i\delta t/2) &0 \\ 0 & \exp(-i\delta t /2) \end{pmatrix}.$

Das gibt:

U H_{ich}^{N} U^{+} = ℏ \sqrt{N + 1} σ_{X} = H^{*}

$UH_i^n U^+ = \hbar \sqrt{n+1}\sigma_x=H^*$

Ich versuche das anzuwenden $U$ zur Schrödinger-Gleichung von der linken Seite:

U H_{ich}^{N} | Ψ ⟩ = ich ℏ U \partial_{T} | Ψ ⟩

$UH_i^n|\Psi\rangle = i\hbar U \partial_t |\Psi\rangle$

Dann füge ich ein $U^{-1}U$ vor dem Staat $|\Psi\rangle$ auf beiden Seiten:

U H_{ich}^{N} U^{- 1} U | Ψ ⟩ = ich ℏ U \partial_{T} U^{- 1} U | Ψ ⟩

$U H_i^n U^{-1}U |\Psi\rangle = i\hbar U\partial_t U^{-1}U |\Psi\rangle$

Dann benenne ich um

U | Ψ ⟩ \equiv | Ψ^{'} ⟩

$U|\Psi\rangle \equiv |\Psi'\rangle$

Jetzt Produktregel, wie im März vorgeschlagen:

U H U^{- 1} | Ψ^{'} ⟩ = ich ℏ U U^{- 1} \partial_{T} | Ψ^{'} ⟩ + ich ℏ U \partial_{T} (U^{- 1}) | Ψ^{'} ⟩

$UHU^{-1} |\Psi'\rangle = i\hbar UU^{-1}\partial_t |\Psi'\rangle + i\hbar U \partial_t( U^{-1}) |\Psi'\rangle$ was dazu führt

(H^{*} - ℏ (\begin{matrix} δ / 2 & 0 \\ 0 & - δ / 2 \end{matrix})) | Ψ^{'} ⟩ = ich ℏ \partial_{T} | Ψ^{'} ⟩

$\left(H^* - \hbar \begin{pmatrix} \delta/2 &0 \\ 0 &-\delta/2 \end{pmatrix}\right) |\Psi'\rangle =i\hbar\partial_t | \Psi' \rangle$

Das Teil der linken Seite ist jetzt genau das, was ich gesucht habe!

Aktualisieren

Eine Folgefrage verallgemeinert diesen Spezialfall.

ok das habe ich jetzt versucht zu berücksichtigen. sorry für meine späte Antwort. Danke noch einmal!
Sieht gut aus! Ich habe die Formatierung ein wenig bearbeitet und einen Link zu @DanielSanks Folgefrage hinzugefügt. Und beide positiv bewertet, was ich vorher irgendwie versäumt hatte.

Transformation von Jaynes-Cummings Hamiltonian

Mechanix

Daniel Sank

Mechanix

Mechanix

Mechanix

Daniel Sank

Mechanix

Daniel Sank

Marsch

Daniel Sank

Marsch

Daniel Sank

Marsch

Daniel Sank

Antworten (1)

Mechanix

Mechanix

Marsch

Kommutator mit Quadratwurzel

Analytische Lösung eines Zwei-Niveau-Systems, das durch ein sinusförmiges Potential angetrieben wird, jenseits der Annäherung an rotierende Wellen

Normales Bestellen und Schmieren

Physikalische Bedeutung der effektiven Wellenfunktion

Erhalten Sie die Lagrange-Funktion aus dem System der gekoppelten Gleichung [geschlossen]

Entkopplung gekoppelter Differentialgleichungen in dynamisch gekoppelten Zweizustandssystemen

Beziehung zwischen Orts- und Impulsmatrixelementen

Matrix für π/2π/2\pi/2 Puls?

Einführendes Quantum, Probleme mit dieser Randbedingung und diesem Potenzial

Einheitliche Transformation des Hamiltonoperators mit Spin-Orbital-Kopplung