Matrix für π/2π/2\pi/2 Puls?

Zusammenfassung: Keiner Ihrer beiden Ansätze entspricht einer korrekten Anwendung von a$\pi/2$-Impuls. Die erste Matrix enthält eine fabrizierte Phasenverschiebung, die zweite ergibt sich aus einem Basiswechsel, der nicht einfach zweimal angewendet werden kann.

Einige einleitende Bemerkungen

• A$\pi/2$-Impuls stellt eine 90°-Drehung des Bloch-Vektors auf der Bloch-Kugel um eine Achse dar. Um welche Achse herum hängt von der Form des Wechselwirkungs-Hamiltonoperators ab, der die Form haben sollte$V \simeq \Omega_x\sigma_x + \Omega_y \sigma_y$, aus der Sie die obige Einheitstransformation ableiten, indem Sie in ein geeignetes Interaktionsbild wechseln usw.. Diese Einheitlichkeit soll verwendet werden.
• Darüber hinaus mit a$\pi/2$-pulse legt bestimmte Beschränkungen für die Länge des Impulses fest, dh Sie erhalten eine bestimmte Bedingung für die Länge des Impulses, nämlich$\Omega t = \pi$wenn ich mich nicht irre. Also beim Schreiben$U_{"\pi/2"}$, solltest du schon alle eliminiert haben$\Omega$'s und$t$ist da und hinterlässt so etwas wie $$U_{"\pi/2"} = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix}1&1\\-\mathrm i&\mathrm i\end{pmatrix},$$ und einige Ausdrücke entsprechend für$U_{"\pi/2"}'$. (Ich werde später zeigen, warum$U_{"\pi/2"}$ist kein$\pi/2$Puls, also der$"\pi/2"$drin.)

Nichtäquivalenz der beiden Matrizen

Was Sie hier tun, ist, das Einheitliche zu zerlegen$U'_{"\pi/2"}$und eine zweite Einheitsmatrix der Form

was auch einer Basisänderung Ihres Zustandsvektors entspricht. Dies ist gleichbedeutend damit, eine Phase zwischen den beiden Basiszuständen einzuführen oder die Basis der Bloch-Kugel entsprechend zu drehen. Allerdings, wenn Sie zwei Impulse anwenden$U_{"\pi/2"}$in Reihe,

Sie sehen, dass dies zwei Folgeanwendungen von nicht entspricht$U_{"\pi/2"}'$offensichtlich.

Warum dein$U_{"\pi/2"}$ist kein$\pi/2$-Impuls

Zurück zur Frage warum$U_{"\pi/2"}$zweimal angewendet ergibt nicht a$\pi$-Drehung. Dies ist jetzt leicht zu sehen, indem man es einfach mit sich selbst multipliziert, was eine Matrix mit allen Einträgen mit gleichem Modul ergibt$(\simeq \pm 1 \pm \mathrm i)$. Allerdings multiplizieren$U_{"\pi/2"}'$mit sich gibt das Gewünschte$\pi$-pulse, der nur Einträge in der Nebendiagonale haben muss.

Also was ist dann$U_{"\pi/2"}$wirklich tun? Es bringt Ihren Zustandsvektor in einen Überlagerungszustand, wenn Sie von einem der beiden Basiszustände ausgehen. Aber neben einer Drehung um eine Achse in der Äquatorialebene führt es eine Phase ein , die einer Drehung um die entspricht$z$-Achse. Also, Ihr$U_{"\pi/2"}$ist eine Kombination aus a$\pi/2$-Puls herum, sagen wir, die$x$-Achse mit einer Drehung um die$z$-Achse. Eine zweite Drehung um die$x$-Achse hat dann einen anderen Effekt (hier, wenn ich es richtig sehe, macht es nichts, weil der Vektor gerade parallel zur Rotationsachse ist), und die weitere Phase (=Rotation um die$z$-Achse) führt zu einem Endzustand, der noch in der Äquatorialebene der Blochkugel liegt.

Physikalisch ist diese Situation ähnlich der, wenn die Frequenz des Strahlungsfeldes nicht mit der Übergangsfrequenz des Zwei-Niveau-Systems resonant ist. Dann entfernt die Transformation im Interaktionsbild den Begriff nicht$\sim \sigma_z$des Zwei-Niveau-Systems Hamiltonian, so dass diese Terme in der Einheit auftreten, was eine Phasenverschiebung ergibt, die proportional zu ist$\sim \Delta t$, Wo$\Delta$ist die Verstimmung zwischen der Strahlungsfrequenz und der Übergangsfrequenz. Wie die andere Antwort jedoch betonte, ist die Grenze von$t=0$ergibt eine gewisse sofortige Phasenverschiebung.

Wie ich im Kommentar unten ausgeführt habe, ist dies per se nicht unphysikalisch , kann aber eine Phasenverschiebung zwischen zwei Impulsen berücksichtigen, die beispielsweise durch eine Verschiebung der Phase des Strahlungsfelds auferlegt wird.

die sowieso nicht von einem Hamiltonianer beschrieben werden kann. Eine Einbeziehung einer solchen Phasenverschiebung mag unphysikalisch erscheinen, da sie die Identitätstransformation nicht ergibt$t \rightarrow 0$, kann aber ohnehin nicht durch eine Schrödinger-Gleichung beschrieben werden, sondern ist als eine Art äußere Bedingung zu betrachten.

Das Problem mit Ihrer Transformation