Wie konstruiert man den elektromagnetischen Tensor in gekrümmter Raumzeit richtig?

Question

Wie konstruiert man den elektromagnetischen Tensor in gekrümmter Raumzeit richtig?

Giovanni Formighieri

Wie konstruiere ich den elektromagnetischen Tensor in gekrümmter Raumzeit richtig ? Ich habe meine gekrümmte Raumzeitmetrik $(+,-,-,-)$ und mein magnetisches Vektorpotential $A$ . Ich habe zwei Möglichkeiten ausprobiert, bin mir aber nicht sicher, welche richtig ist (falls es eine gibt).

Erster Weg:

Berechnen Sie das Magnetfeld $B$ aus der Kräuselung des magnetischen Vektorpotentials $A$ :
$B = \nabla \times A .$ $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}.$
Platzieren Sie die resultierenden Komponenten direkt in der Definition des kontravarianten elektromagnetischen Tensors in Zylinderkoordinaten:
$F^{μ v} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B^{z} \\ 0 & 0 & 0 & - B^{R} \\ 0 & - B^{z} & B^{R} & 0 \end{matrix}) .$ $F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B^z \\ 0 & 0 & 0 & -B^r \\ 0 & -B^z & B^r & 0 \end{pmatrix}.$

Zweiter Weg:

Definieren Sie das elektromagnetische Vierpotential ( $\phi$ ist in meinem Problem null):
$A^{a} = (ϕ, A) .$ $A^\alpha = (\phi, \mathbf{A}).$
Verringern Sie den Vier-Potenzial-Index, indem Sie ihn mit meinem kovarianten metrischen Tensor kontrahieren.
Berechnen Sie die elektromagnetischen Feldkomponenten mit der Formel
$F_{μ v} = \partial_{μ} A_{v} - \partial_{v} A_{μ} .$ $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu.$ Ich habe die gewöhnlichen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt.
Erhöhen Sie die Indizes dieses kovarianten elektromagnetischen Feldtensors, um ihn mit dem ersten Weg zu vergleichen.

Das Problem ist, dass ich anscheinend nicht mit beiden Methoden die gleichen Ergebnisse erzielen kann, was ziemlich klar sagt, dass ich etwas falsch mache. Ist etwas grundsätzlich falsch daran, diese Schritte zu unternehmen?

Antworten (1)

Wie konstruiert man den elektromagnetischen Tensor in gekrümmter Raumzeit richtig?

Jerry Schirmer · Answer 1

Deine zweite Methode ist richtig.

Um beispielsweise das Magnetfeld mit dem zu vergleichen, was Sie in Jackson finden, müssen Sie wirklich erkennen, dass es eine Annahme gibt, dass Sie dort Einheitsbasisvektoren haben und dass das Kreuzprodukt tatsächlich ein Hodge Dual ist (was Faktoren des Quadrats hervorruft). Wurzel der Determinante der Metrik). Dadurch werden direkte Vergleiche etwas schwierig, wenn Sie von einer Notation zur anderen wechseln.

Letztendlich funktionieren natürlich beide Methoden. Die zweite Methode ist weitaus fehlersicherer und auch koordinativ (und der einzige metrische abhängige Schritt ist das Absenken des Index von $A^{\mu}$ ) unabhängig.

(Beachten Sie, dass ich oben sage, dass es keine Rolle spielt, ob Sie die gewöhnlichen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen, da:

\nabla_{A} v_{B} = \partial_{A} v_{B} - Γ_{A B}^{C} v_{C}

$\nabla_{a}v_{b} = \partial_{a}v_{b} - \Gamma_{ab}{}^{c}v_{c}$ ,

was bedeutet, dass

\nabla_{A} v_{B} - \nabla_{B} v_{A} = \partial_{A} v_{B} - \partial_{B} v_{A} - Γ_{A B}^{C} v_{C} + Γ_{B A}^{C} v_{C} = \partial_{A} v_{B} - \partial_{B} v_{A}

$\nabla_{a}v_{b} - \nabla_{b}v_{a} = \partial_{a}v_{b} - \partial_{b}v_{a} - \Gamma_{ab}{}^{c}v_{c} + \Gamma_{ba}{}^{c}v_{c} = \partial_{a}v_{b} - \partial_{b}v_{a}$ ,

also sind sie wirklich dasselbe.)

Selbst wenn ich Zylinderkoordinaten verwende (meine Metrik ist Weyl), kann ich diese partiellen Ableitungen der zweiten Methode direkt anwenden und mit den Berechnungen fortfahren? Muss ich etwas tun, wenn ich nicht mit kartesischen Koordinaten arbeite?
@Giovanni Ja, so geht das. Aber seien Sie vorsichtig mit dem Anheben und Absenken, wenn Sie zB die Quelle des Feldes finden - das ist der Teil, in den das zusätzliche metrische Zeug eintritt.
@Giovanni: Ja, aber siehe oben über das Hodge Dual. Das Kreuzprodukt lässt sich nicht trivial auf gekrümmten Raum verallgemeinern, wie es das Skalarprodukt tut. Es kommt darauf an, wie Sie die Komponenten präsentieren möchten. Ich würde vorschlagen, mit dem gewöhnlichen kartesischen Raum in drei Koordinaten zu beginnen und zu sehen, was notwendig ist, um die vorgefertigten Formeln in Griifiths/Jackson zu reproduzieren.
Ich bin noch nicht mit dem Hodge-Dual vertraut, aber ich habe irgendwo gelesen, dass ich den Curl auch mit einer vierdimensionalen Levi-Civita-Tensordichte anwenden könnte.

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Giovanni Formighieri

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