Wie führt man das elektromagnetische Feld in die Quantenfeldtheorie ein?

Probieren Sie diese Erklärung für die Größe aus. Ich betone, dass es meine eigene Art ist, das zu verstehen$U(1)$Gauge Invariance of Electrodynamics und ich habe es nirgendwo anders in genau den gleichen Worten gesehen.

Die von Ihnen zitierte Ableitung wird normalerweise im Zusammenhang mit der halbklassischen (dh zuerst quantisierten oder bevor das Quantenfeld eingeführt wird) Dirac- oder Schrödinger-Gleichung für das Elektron angegeben: Für beide gilt dieselbe Argumentation. Diese Gleichungen beschreiben ein Fermion, sodass man ihre Teilchenfelder nicht uminterpretieren kann$\psi$als makroskopisches, klassisch messbares Feld: Das Pauli-Ausschlussprinzip bedeutet, dass Sie Ihr Fermion nicht kopieren und haben können$N$(Wo$N$ist sehr groß) Teilchen im gleichen Quantenzustand. Ansonsten könnte man im Prinzip den vollen komplexen Wert messen$\psi(x,y,z,t)$auf beliebige Genauigkeit durch Kopieren$\psi$auf diese Weise und dann eine klassische Messung durchführen - etwas, das Sie mit Bosonen machen können (siehe unten).

Was bedeutet das auf der Ein-Teilchen-Ebene? Es bedeutet nur das$|\psi|^2$ist für ein Teilchen experimentell aussagekräftig: Man kann die Wahrscheinlichkeit messen, das Teilchen an einer Position im Raum zu finden, aber die Phase von$\psi$hat keine solche Bedeutung. Wir sollten uns also vermehren können$\psi$durch eine willkürliche Phasenfunktion$e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}$und etwas bekommen, das physikalisch dasselbe bedeutet. Aber angesichts der Struktur der Dirac- oder Schrödinger-Gleichungen erscheint dies absurd: mit Sicherheit:

$\partial_j \left[e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\,\psi(x,y,z,t)\right]\neq e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\, \partial_j\,\psi(x,y,z,t)$

sondern eher

$\partial_j\left[ e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\,\psi(x,y,z,t)\right]= e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\, \left[\partial_j\,\psi(x,y,z,t) + i\, \psi(x,y,z,t)\,\partial_j\,\alpha(x,y,z,t)\right]$

und so wird eine solche Annahme der Invarianz in Bezug auf eine willkürliche Phasenlage ungültig, da die Phasenlage offensichtlich die Struktur der Dirac- oder Schrödinger-Gleichungen "ruiniert", es sei denn, der Phasenfaktor$\alpha$ist global konstant. Das ist vernünftig: die Phase von$\psi$ist definitiv Teil der Lösungen der Gleichungen und spielt eine bestimmte Rolle bei der Beugung und anderen Welleneffekten, die einen Einfluss auf das Intensitätsfeld haben$|\psi|^2$.

Aber man kann die Situation "abrufen", indem man postuliert, dass das einzelne Teilchen an ein äußeres Feld gekoppelt ist, so dass die Dirac- oder Schrödinger-Gleichungen jetzt die Terme haben, die dieses eingekoppelte Feld beinhalten: Wenn ja, können wir eine beliebige Phase hinzufügen$\alpha(x,y,z,t)$und halten Sie die globale Gleichung gleich, indem Sie sagen, dass wir, wann immer wir dies tun, einen Ausgleich wegnehmen müssen$i \partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$aus dem eingekoppelten Feld. Daraus schließen wir, wenn das eingekoppelte Feld$A_j$überhaupt physikalisch ist, muss es die gleichen Maße wie das Feld geben$A_j + \partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$: das Original plus ein beliebiges Feld des Formulars$\partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$, Wo$\alpha(x,y,z,t)$ein geeignet wohldefiniertes Skalarfeld ist. Aber es gibt ein Feld, das sich genau so verhält: das elektromagnetische Viererpotential. Wir können einen räumlichen Gradienten hinzufügen$\nabla \alpha$zum Vektorteil und fügen gleichzeitig den Skalar hinzu$\partial_t\alpha$auf das skalare elektrische Potential, ohne das elektrische zu beeinflussen$\mathbf{E}$und magnetisch$\mathbf{B}$Felder.

Da haben wir es also: Die angenommene "Eichinvarianz" legt das elektromagnetische Feld nahe , weil sich das Ausgleichsfeld genauso verhält wie Eich-transformierte vektorielle magnetische und elektrische Potentiale. Die wesentliche Argumentation hier ist also wirklich eine Vermutung: Wenn es wie eine Ente aussieht und quakt, ist es vielleicht eine Ente. So auch bei der Einkopplung des Außenfeldes in die Dirac-Gleichung. Es verhält sich wie die potenziellen Felder von Maxwells Elektromagnetismus, also gehen "wir" (oder besser gesagt der Physiker, der zuerst daran gedacht hat - meine Unwissenheit hindert mich leider daran, Ihnen zu sagen, wer) unserer Vermutung folgen und sehen, was passiert, wenn wir annehmen, dass das Feld elektromagnetisch ist Feld.

Beachten Sie, dass die gleichen Ideen nicht auf Bosonen zutreffen. Wir können uns die Maxwell-Gleichungen als die ersten quantisierten Gleichungen für das Photon vorstellen. Niemand spricht davon, die Maxwell-Gleichungen bezüglich der Multiplikation mit einer beliebigen Phasenfunktion unveränderlich zu machen$e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}$auf die gleiche Weise wie für die Dirac-Gleichung. Dies, obwohl die Maxwell-Gleichungen in eine quaternionische Form gebracht werden können, die mit einer masselosen Dirac-Gleichung identisch ist, wenn man sich letztere als zwei quaternionische Gleichungen vorstellt, die durch einen Massenterm gekoppelt sind - also wäre der gleiche mathematische Trick genauso gültig mit den Maxwell-Gleichungen wie mit der Dirac-Gleichung. Meine Interpretation ist folgende: Die Phase des Photons ist klassisch bedeutungsvoll: Photonen sind Bosonen, also können wir im Prinzip so viele bekommen, wie wir wollen, im gleichen Zustand: so viele tatsächlich, dass wir die Phase ihrer gemeinsamen "Wellenfunktion" messen können (was ist nun das elektromagnetische Feld - siehe Vorbehalte in den nachfolgenden Anmerkungen) mit klassischen Messgeräten wie Interferometern auf beliebige Genauigkeit.GENAU zu einem makroskopischen, klassischen elektromagnetischen Feld, das wir im Labor beliebig genau aufbauen und vermessen können. Obwohl also die Phase eines Photons genauso „versteckt“ ist wie die Phase eines Elektrons darüber – es gibt keine „Phasen“-Eigenzustände und keine „Phase“ beobachtbar – muss sie in der „produktiven Kopie“ immer noch „absolut“ sein -und-klassisch-messen" gerade beschriebenen Sinn.

Damit ist meine Antwort beendet, aber ich füge unten einige interessante verwandte Dinge hinzu.

Maxwellsche Gleichungen aus$U(1)$Eichinvarianz

Übrigens kann man dieses Eichinvarianzdenken verwenden, um die Maxwell-Gleichungen zu motivieren oder "abzuleiten". Unter geeigneten Differenzierbarkeitsannahmen für das Feld ist der einfachste Weg, Felder abzuleiten, die von den Eichtransformationen nicht betroffen sind, die Tensorlocke zu bilden:

$F_{\mu\,\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$

(Versuchen Sie dies, wenn Sie es noch nicht getan haben: Es bleibt ungleich Null$F_{\mu\,\nu}$die von der Spurumwandlung nicht betroffen sind). Nun postulieren wir eine Lorentz-invariante Wellengleichung für ein masseloses Feld:$\Box \mathbf{A} = \mathbf{0}$ist das Offensichtliche (gehen wir einfach den ganzen Weg zurück zu D'Alembert!). Sie haben sofort die Freiraum-Maxwell-Gleichungen als Gleichungen erhalten, die von der "physikalischen", unbeeinflussten Spurweite erfüllt werden$F_{\mu,\nu}$.

Wie ironisch, dass das Pauli-Ausschlussprinzip, das zuerst postuliert wurde, um Elektronen im Bohr-Atom am Strahlen zu „stoppen“ und somit gegen das scheinbar von den Maxwell-Gleichungen vorhergesagte Verhalten gerichtet ist, verwendet werden kann, um eine Eichtransformation zu motivieren, die ziemlich genau von der Dirac-Gleichung führt zurück zu den Maxwell-Gleichungen!

Eine faszinierende und übersichtliche „erste quantisierte“ oder „Baby“-Formulierung von QED (die besonders für Nicht-Quantenfeldtheoretiker wie mich attraktiv ist) kann durch Postulieren der Dirac-Maxwell-Gleichung erhalten werden:

$\gamma^\mu\left(i \partial_\mu - q A_\mu\right) \psi + V \psi - \psi = 0$

$\partial_\nu F^{\nu\,\mu} = q\,\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$

mit der Lorenzspur$\partial_\mu A^\mu = 0$

dh intuitiv ist die Quelle für die Maxwell-Gleichungen$q$mal der Wahrscheinlichkeit Stromdichte (hier$\bar{\psi}$steht für konjugierte Ladung$\psi$). Ein erstes quantisiertes Elektronenfeld ist nun nichtlinear mit einem ersten quantisierten Photonenfeld gekoppelt. Dieses nichtlineare System kann exakt nach dem Wasserstoffatompotential gelöst werden$V$und in anderen Situationen

AO Barut und J. Kraus, "Nonperturbative Quantum Electrodynamics: The Lamb Shift", Foundations of Physics, Vol. 3, No. 13, Nr. 2, 1983

und diese Lösung kann tatsächlich die Lamb-Verschiebung und spontane Emission modellieren. Die Serienlösung ergibt etwas sehr Ähnliches wie die Standard-QED-Störungsterme, und tatsächlich muss man eingreifen und diese Lösung auch "renormalisieren".

Siehe auch die Arbeiten von Hilary Booth in den späten 1990er Jahren.

Maxwellsche Gleichungen als Ausbreitungsgleichungen Photonenwellenfunktion

Aus verschiedenen Gründen hat eine erste quantisierte "Photonenwellenfunktion" einige andere Verhaltensweisen und Interpretationen als das Fermionenfeld$\psi$in der Dirac-Gleichung. Es ist völlig richtig, die Lösungen der Maxwellschen Gleichungen als Ein-Photonen-Quantenzustände zu behandeln, aber man muss verstehen, dass es schwierig ist, lokalisierte Positions-Eigenzustände für das Photon genau analog zu denen für Fermionen zu handhaben. Siehe zum Beispiel die Werke von Iwo Bialynicki-Birula, Margaret Hawton in den späten 1990er und frühen 2000er Jahren:

Iwo Bialynicki-Birula, „Über die Wellenfunktion des Photons“ Acta Physica Polonica 86, 97-116 (1994)

Margaret Hawton und William E. Baylis, "Winkelimpuls und das geometrische Maß lokalisierter Photonenzustände", Phys. Rev. A 71, 033816 (2005)