Woher kommt der Massenbegriff im Proca-Lagrange?

Der Massenterm in jedem Feld-Lagrangian ist immer der Term, der in den Feldern quadratisch ist und das entgegengesetzte Vorzeichen bzgl. hat. der kinetische Term – das ist entscheidend .

Warum fragst du? Angenommen, wir vergessen den aktuellen Begriff für eine Minute (wir wollen uns das Feld ansehen$A$von alleine, keine Strömungen in der Nähe, um die Masse leicht zu identifizieren.)

Wenn Sie die Feldgleichungen ausarbeiten, erhalten Sie so etwas wie

Nun, es gibt mehrere Möglichkeiten, das aus dieser Gleichung zu bekommen$\mu$ist als Masse des Feldes zu interpretieren$A^\mu$. Der intuitivste Weg führt über den üblichen quantenmechanischen Standpunkt, wo das Energie-Impuls durch die Ableitung dargestellt wird$\hat P^\mu = i\partial^\mu$, en daher, wenn auf einen Energie-Impuls-Eigenzustand (dh eine ebene Welle) eingewirkt wird$e^{ik \cdot x}$), reduziert sich die Gleichung auf

(Das Zeichen von$\mu$wird je nach Ihren metrischen Konventionen variieren. Nun, aus der speziellen Relativitätstheorie wissen wir das$p^2 = -m^2$, was uns die Interpretation einer Masse gibt.

Ein noch genaueres Verfahren besteht darin, das Feld zu quantisieren und den Hamilton-Operator in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aufzuschreiben, und Sie finden jeden Erzeugungsoperator, abgesehen von der regulären "kinetischen Energie".$\hbar\omega_{\vec k}$, fügt auch ein Standardquantum hinzu$\mu$auf die Gesamtenergie des Systems, dh die entsprechende Massenenergie.

Wenn Sie eine Weile innehalten, um darüber nachzudenken, werden Sie sehen, dass Ähnliches für jeden Feld-Lagrangian mit einem quadratischen Term passieren wird.

PS: Beachten Sie, dass, wenn wir das Vorzeichen für den Massenterm anders gewählt hätten, die Masse imaginär herausgekommen wäre, dh$\mu^2 < 0$, was normalerweise große Probleme für Ihre Feldtheorie signalisiert

Die Normierung ist eigentlich eine Sache der Konvention: Der Vorfaktor vor dem kinetischen Term wird gewählt, um die Maxwellschen Gleichungen mit den richtigen Vorfaktoren wiederzugeben, was de facto den Faktor im Massenterm bestimmt.

Bearbeiten: Vladimir macht einen guten Punkt: Ich habe vergessen darauf hinzuweisen, dass der Proca-Lagrangian nicht eichinvariant ist (im Sinne von Maxwell: Sie können keine Terme a la willkürlich hinzufügen $\partial_\mu f$. Versuch es!). Ich meine mich jedoch zu erinnern, dass Sie zeigen können, dass die ursprünglichen Proca-Bewegungsgleichungen in das gemeinsame Gleichungssystem zerlegt werden können

Zusätzlich zu der Antwort von Sam würde ich sagen, dass für das massive Feld keine Eichinvarianz erforderlich ist$A$, nur Lorentz-Kovarianz.