Wie führt man eine Dochtrotation in der Lagrange-Funktion einer Eichtheorie (wie QCD) durch?

Question

Wie führt man eine Dochtrotation in der Lagrange-Funktion einer Eichtheorie (wie QCD) durch?

Physik
Yang-Mühlen
Eichtheorie
Dochtdrehung
lagrangescher Formalismus
Quantenchromodynamik

WilhelmM

Ich studiere Lattice QCD und blieb beim Verständnis des Prozesses stecken, der von einer Minkowski-Raumzeit zu einer euklidischen Raumzeit übergeht. Mein Vorgehen ist folgendes:

Ich habe die Wick-Rotation in der Quantenmechanik betrachtet $x_0 \to -i x_4$ . Daher dachte ich, es wäre vernünftig anzunehmen, dass für den potenziellen Vektor die Wick-Rotation sein würde $A_0 \to -i A_4$ , seit $A_\mu$ ist ein Vier-Vektor-like $x_\mu$ . Dies impliziert $F_{0 i}F^{0 i} \to -F_{4 i}F_{4 i}$ und Annahme einer Metrik $g^{\mu \nu} = \;\mbox{diag}(1,-1,-1,-1)$ , das führt zu $F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} \to -F_{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ . Nun, wenn man das bedenkt $d^4x = dt\, d^3x \to -i d\tau\, d^3x$ die aktion sollte sich so umwandeln

ich S = - \frac{ich}{2} \int d^{4} x Tr (F_{μ v} F^{μ v}) \to \frac{1}{2} \int d^{4} x Tr (F_{μ v} F_{μ v}) = S_{E},

$\begin{equation} i S = -\frac{i}{2}\int d^4x \;\mbox{Tr}(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}) \to \frac{1}{2}\int d^4x \;\mbox{Tr}(F_{\mu \nu}F_{\mu \nu}) = S_E\,, \end{equation}$ wo

S_{E}

$S_E$ ist die euklidische Wirkung, die eine positive Zahl ist. So,

i S \to S_{E}

$iS \to S_E$ statt wie erwartet

i S \to - S_{E}

$iS \to -S_E$ . Irgendwas mache ich offensichtlich falsch. Ich vermute es könnte an der Transformation liegen

d^{4} x

$d^4x$ , aber ich kann nicht verstehen, warum es falsch sein sollte. Eine Sache, die mir aufgefallen ist, ist, dass wenn ich die Metrik verwende

g^{μ ν} = diag (- 1, 1, 1, 1)

$g^{\mu \nu} = \;\mbox{diag}(-1,1,1,1)$ , dann bekomme ich das richtige Signal. Aber das ändert die Metrik mitten in der Berechnung, was ohne Ausgleich mit einem entsprechenden Minussignal falsch wäre und dann würde das Problem bestehen bleiben.

Ich habe auch Probleme mit dem Fermionischen Sektor. Ich überlegte $\partial_0 \to -i\partial_4$ nach der Umwandlung von $x_0$ . Auch habe ich in den Büchern (Gattringer, Rothe) gesehen, dass es das brauchte $\gamma^0 \to \gamma_4$ und $\gamma^i \to i \gamma_i$ so die Definition für die $\gamma$ Matrizen könnten sich ändern $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2 g^{\mu \nu} \to \{\gamma_\mu, \gamma_\nu\} = 2 \delta_{\mu \nu}$ . Es sieht vernünftig aus. Das Problem ist, dass die Transformation zur Handlung wird

ich S = ich \int d^{4} x \bar{ψ} (ich γ^{μ} \partial_{μ} + g_{0} γ^{μ} {EIN}_{μ} - m) ψ \to \int d^{4} x \bar{ψ} (γ_{μ} \partial_{μ} - ich g_{0} γ_{μ} {EIN}_{μ} - m),

$\begin{equation} iS = i\int d^4x \; \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu + g_0 \gamma^\mu A_\mu - m)\psi \to \int d^4x \;\bar{\psi}(\gamma_\mu \partial_\mu - i g_0 \gamma_\mu A_\mu - m)\,, \end{equation}$

was nicht die euklidische Wirkung ist. Ich habe versucht, mit $A_0 \to i A_4$ in der Hoffnung, dass ich in der obigen Logik einen Fehler machen könnte, aber ohne Glück. Was ist also das Rezept, um die Wick-Rotation durchzuführen? Wie finde ich heraus, welche Transformationen ich in einer Dochtrotation durchführen sollte?

Antworten (1)

Wie führt man eine Dochtrotation in der Lagrange-Funktion einer Eichtheorie (wie QCD) durch?

QMechaniker · Answer 1

I) Bosonischer Teil: Wenn wir Wick-rotieren, ist es natürlicher, Signaturkonventionen zu verwenden $(-,+,+,+)$ für die Minkowski (M)-Metrik $g^M_{\mu\nu}$ , und $(+,+,+,+)$ für die euklidische (E) Metrik $g^E_{\mu\nu}$ , vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier . Wir werden griechische Indizes verwenden $\mu,\nu=0,1,2,3$ , um gekrümmte Raumzeit-Indizes zu bezeichnen; Römische Indizes $a,b=0,1,2,3$ , für flache Raumzeit-Indizes; und römische Indizes $j,k=1,2,3$ , für räumliche Indizes. Wir werden nicht umetikettieren $x^0=x^4$ um die Orientierung nicht zu verfälschen.

Standardkonventionen für die Wick-Rotation sind [1]

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} - S_{E} = & ich S_{M} Handlung, \\ t_{E} = & ich t_{M} Zeit, \\ - L_{E} = & L_{M} Lagrangedichte, \\ d^{4} x_{E} = & ich d^{4} x_{M} Freizeit 4 -bilden, \\ - L_{E} = & ich L_{M} Lagrange 4 -bilden, \\ v_{E}^{0} = & ich v_{M}^{0} Nullkomp. des kontravarianten Vektors, \\ v_{0}^{M} = & ich v_{0}^{E} Nullkomp. des kovarianten Vektors, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -S_E~=~&iS_M \quad\text{action}, \cr t_E~=~&it_M \quad\text{time}, \cr -{\cal L}_E~=~&{\cal L}_M \quad\text{Lagrangian density}, \cr d^4x_E~=~&id^4x_M \quad\text{spacetime $4$-form}, \cr -\mathbb{L}_E~=~&i\mathbb{L}_M \quad\text{Lagrangian $4$-form}, \cr V_E^0~=~&iV_M^0 \quad\text{zero-comp. of contravariant vector}, \cr V^M_0~=~&iV^E_0 \quad\text{zero-comp. of covariant vector}, \end{align}\tag{1}$

und eine einfache Verallgemeinerung auf Tensorfelder $T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}$ . (NB: Die Indizes des Levi-Civita-Symbols sind nicht Docht-rotiert, da die Werte des Symbols nur aus bestehen $\pm 1$ und $0$ .) Sowohl gekrümmte als auch flache Indizes sind Wick-rotiert. Aus diesem Grund ist die Determinante des vielbein

\begin{matrix} (2) & e = det (e_{μ}^{a}) und \sqrt{| g |} = \sqrt{det (g_{μ v}) det (η^{a b})} \end{matrix}

$e~=~\det(e^a_{\mu})\quad\text{and}\quad\sqrt{|g|}~=~\sqrt{\det(g_{\mu\nu})\det(\eta^{ab})}\tag{2}$ sind unter Dochtrotation invariant.

Beispiel: Topologischer/Theta/Chern-Simons-Term. Betrachten Sie einen Lagrange-Term in 4-Form der Form a $4$ -bilden

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ich L_{E} \overset{(1)}{=} & L_{M} = Ω_{M} = d^{4} x_{M} Ω_{0123}^{M} \\ \overset{(1)}{=} & d^{4} x_{E} Ω_{0123}^{E} = Ω_{E} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} i\mathbb{L}_E~\stackrel{(1)}{=}~&\mathbb{L}_M~=~\Omega_M~=~d^4x_M ~\Omega^M_{0123}\cr ~\stackrel{(1)}{=}~&d^4x_E ~\Omega^E_{0123}~=~\Omega_E. \end{align}\tag{3}$ Der entsprechende Lagrange-Dichteterm lautet

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} - L_{E} \overset{(1)}{=} & L_{M} = \frac{e}{4!} ε^{μ_{0} μ_{1} μ_{2} μ_{3}} Ω_{μ_{0} μ_{1} μ_{2} μ_{3}}^{M} = Ω_{0123}^{M} \\ \overset{(1)}{=} & ich Ω_{0123}^{E} = \frac{ich e}{4!} ε^{μ_{0} μ_{1} μ_{2} μ_{3}} Ω_{μ_{0} μ_{1} μ_{2} μ_{3}}^{E} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -{\cal L}_E~\stackrel{(1)}{=}~& {\cal L}_M~=~\frac{e}{4!}\varepsilon^{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} \Omega^M_{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3}~=~ \Omega^M_{0123}\cr ~\stackrel{(1)}{=}~&i\Omega^E_{0123}~=~\frac{ie}{4!}\varepsilon^{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} \Omega^E_{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} .\end{align}\tag{4}$

Beispiel: Kinetik $F\wedge \star F$ Begriff.

\begin{matrix} (5) & L_{E} \overset{(1)}{=} - L_{M} = \frac{e}{4} F_{μ v}^{M} F_{M}^{μ v} \overset{(1)}{=} \frac{e}{4} F_{μ v}^{E} F_{E}^{μ v} . \end{matrix}

${\cal L}_E~\stackrel{(1)}{=}~-{\cal L}_M~=~\frac{e}{4}F^M_{\mu\nu}F_M^{\mu\nu}~\stackrel{(1)}{=}~\frac{e}{4}F^E_{\mu\nu}F_E^{\mu\nu}.\tag{5}$

Beispiel: QED im flachen Raum. Betrachten wir hier nur QED (abelsche Eichtheorie) und überlassen es dem Leser, auf QCD (nicht-abelsche Eichtheorie) zu verallgemeinern. Die Null-Komponente der Eichvariablen (mit Indizes nach unten) ist eine Co-Vektor/Eins-Form und sollte sich wie eine Zeitableitung transformieren

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial}{\partial t_{M}} \overset{(1)}{=} ich \frac{\partial}{\partial t_{E}} \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial t_M}~\stackrel{(1)}{=}~i \frac{\partial}{\partial t_E}\tag{6}$

unter Dochtrotation. Dies impliziert

\begin{matrix} (7) & - {EIN}_{M}^{0} = {EIN}_{0}^{M} \overset{(1)}{=} ich {EIN}_{0}^{E} = ich {EIN}_{E}^{0}, F_{0 j}^{M} \overset{(1)}{=} ich F_{0 j}^{E}, \end{matrix}

$-A^0_M~=~A^M_0~\stackrel{(1)}{=}~iA^E_0~=~iA^0_E, \qquad F^M_{0j}~\stackrel{(1)}{=}~iF^E_{0j},\tag{7}$

Daher transformiert sich die Maxwell-Lagrange-Dichte als

\begin{matrix} (8) & L_{M} = - \frac{1}{4} F_{μ v}^{M} F_{M}^{μ v} = \frac{1}{2} F_{0 j}^{M} F_{0 j}^{M} - \frac{1}{4} F_{j k} F_{j k}, \end{matrix}

${\cal L}_M~=~-\frac{1}{4}F^M_{\mu\nu}F_M^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}F^M_{0j}F^M_{0j}-\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk}, \tag{8}$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} L_{M} = & T_{M} - v, \\ T_{M} = & \frac{1}{2} F_{0 j}^{M} F_{0 j}^{M}, \\ v = & \frac{1}{4} F_{j k} F_{j k}; \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_M~=~&{\cal T}_M-{\cal V},\cr {\cal T}_M~=~&\frac{1}{2}F^M_{0j}F^M_{0j}, \cr {\cal V}~=~&\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk};\end{align}\tag{9}$

und

\begin{matrix} (10) & L_{E} = \frac{1}{4} F_{μ v}^{E} F_{E}^{μ v} = \frac{1}{2} F_{0 j}^{E} F_{0 j}^{E} + \frac{1}{4} F_{j k} F_{j k}, \end{matrix}

${\cal L}_E~=~\frac{1}{4}F^E_{\mu\nu}F_E^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}F^E_{0j}F^E_{0j}+\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk},\tag{10}$

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} L_{E} = & T_{E} + v, \\ T_{E} = & \frac{1}{2} F_{0 j}^{E} F_{0 j}^{E}, \\ v = & \frac{1}{4} F_{j k} F_{j k} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_E~=~&{\cal T}_E+{\cal V},\cr {\cal T}_E~=~&\frac{1}{2}F^E_{0j}F^E_{0j}, \cr {\cal V}~=~&\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk}.\end{align}\tag{11}$

Insbesondere eine euklidische Lagrange-Dichte ${\cal L}_E$ sieht aus wie eine Standard-Lagrange-Dichte (dh kinetischer Term minus Potentialterm) mit einem scheinbaren Potential gleich minus ${\cal V}$ .

II) Fermionischer Teil: Die Dochtrotation von Spinorfeldern ist ein bekanntes nicht-triviales Problem, vgl. zB Ref.-Nr. 2-4.

Verweise:

W. Siegel, Felder ; p. 329.
P. van Nieuwenhuizen und A. Waldron, Eine kontinuierliche Wick-Rotation für Spinorfelder und Supersymmetrie im euklidischen Raum, arXiv: hep-th/9611043 .
AJ Mountain, Dochtrotation und Supersymmetrie , 1999.
A. Bilal & S. Metzger, arXiv:hep-th/0307152 .

Hinweise für später: $\quad -(S_E-\int\! dt_E~J_k\phi^k)~=~-S_E+\int\! dt_E~J_k\phi^k~=~i(S_M+\int\! dt_M~ J_k\phi^k)$ ; Externe Quellen $J_k^E~=~J_k^M$ ändert sich nicht! $\quad -W_c^E[J]~=~iW_c^M[J]$ ; $\quad -(W_c^E[J] +\int\! dt_E~J_k\phi_{\rm cl}^k )~=~ -\Gamma_E[\phi_{\rm cl}] ~=~i\Gamma_M[\phi_{\rm cl}] ~=~i(W_c^M[J]-\int\! dt_M~J_k\phi_{\rm cl}^k)$ Beachten Sie das zusätzliche Minus bei der Legendre-Transformation!
Notizen für später: Kin-Pot-Begriffe: Anti-Aktion $\quad s_M := -S_M$ ; $\quad S_E=:s_E=is_M:=-iS_M$ ; Anti-Lagrange-Dichte $\quad {\cal L}_E=\ell:=-{\cal L}_M$ ; $\quad\ell={\cal V}+g^{00}{\cal T}$ ;
Hinweise für später: Davon gehen wir implizit aus $t_f\geq t_i$ im zeitlichen Integrationsbereich. Wenn $t_f< t_i$ , brauchen wir gegenüber $i\epsilon$ Rezept und entgegengesetzte Dochtdrehung.

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